Атака по площади

Несмотря на все попытки разбавить изложение шуточками и рисунками, сам собой напрашивается печальный вывод — вскоре всё превратится в сплошную стену из символов, знаков и многострадальных скобочек. В какой-то момент формул станет так много, что привычной жизни, полной радости, интересных знакомств и заслуженного досуга, придётся сказать “пока”, ведь теперь всё свободное время будут занимать одни только закорючки и операции с ними (чтобы получить новые, более совершенные закорючки). Постараемся если не прервать, то хотя бы отсрочить наступление этой мрачной эпохи, обратившись к другому разделу математики, о котором мы до сих пор молчали.

А именно, поговорим о геометрии. Чем она интересна? Как вариант, тем, что изучает свойства пространства и различных фигур, которые в нём обитают, т.е. то, что несомненно дано нам в бытовом опыте, в отличие от тех же чисел. Долгое время геометрия оставалась чуть ли ни единственным разделом математики, который бурно развивался, что, кстати, доказывает большой потенциал визуально-ориентированных методов познания. Лично для нас она интересна ещё и тем, что в ней общие математические принципы, о которых мы постоянно говорим, можно увидеть в буквальном смысле этого слова. Сегодняшний интеллектуальный забег мы посвятим принципу последовательности, поэтапности, без которого остаётся только решать и решать тысячи примеров, надеясь, что результаты усилий не сотрутся из памяти под конец бурной недели.

Вообще, поэтапность эта важна как минимум двумя следствиями. Первое — любая, даже самая неприятная формула, состоящая из множества этажей и деталей, откуда-то да вырастает. Дойдя до этого основания и проделав весь путь построения, можно свыкнуться даже с самыми неочевидными ранее мыслями. Второе — конкретные алгоритмы и выражения знать вообще не обязательно, необходимо сознавать лишь общие идеи, из которых они выводятся. Подобное может шокировать иного школьного преподавателя, однако заучивание и правда лишено особого смысла, при внезапной необходимости любой учёный всегда сможет вывести конкретное следствие и определение, не засоряя ими долгосрочную память.

Что, не терпится посмотреть, как это всё выглядит на практике? Нам тоже, так что давайте хищно набросимся на свежую порцию знаний.

Но сперва мы сделаем несколько предварительных замечаний. Выше было замечено, что геометрия занимается изучением фигур, а что такое фигура? Ясного ответа на этот вопрос не существует в принципе. Фигурой может быть что угодно, любой объект, чьи свойства не меняются в зависимости от его конкретного положения в пространстве, перемещения, подбрасывания, кручения-верчения и тому подобное.

На украденной из гугла картинке, способной вызвать приступ эпилепсии, вы можете как раз видеть примеры самых различных фигур:

Несмотря на различие отдельно взятых форм, все фигуры содержат в себе какую-то информацию, совершенно безразличную к тому, в каком именно месте, позиции и контексте эта фигура оказывается. Под информацией имеется в виду как именно та или иная фигура рисуется, сколько места занимает и всё такое прочее.

Далее, обнаруживаем, что все эти фигуры расположены на какой-то подкладке, а не висят посреди Великого Ничто. Эта самая подкладка называется “плоскостью” (plane) и тоже является одним из основных, т.е. принципиально неопределимых понятий геометрии. Если вам очень хочется, то можете представить себе плоскость как бесконечный бумажный лист, не имеющий никакой, даже мизерной толщины. По этому листу можно двигаться вверх, вниз, влево и вправо. Или же подумайте о куске пластилина, который максимально сплющивается и растягивается вверх, вниз, в другие стороны, пока у него также не остаётся никакой толщины, а есть только длина и высота. Вообще, если мы постараемся и нарисуем на этом листе (или куске пластилина, но лист хотя бы не липкий) уже знакомый крест, состоящий из числовых прямых, то каждый раз сможем безошибочно указать местоположение любой точки:

Как видно, мы рассмотрели три точки, и , для нахождения координат (т.е. данных о местоположении) которых просто продлили пунктирные линии в обе стороны, пока они не пересекли числовые прямые. Координаты как правило записываются в скобочках через запятую рядом с именем точки, о которой идёт речь. Например, . Понятно, наверное, что скобки здесь вовсе не определяют порядок действий (ведь действий никаких нет), а просто используются для перечисления. Сначала указывается число, соответствующее расстоянию от нуля по горизонтальной оси до места нашей точки, (также называется “ось асбцисс”), ну а затем — число для расстояния по вертикальной оси (“ось ординат”). Получается что-то вроде инструкции того, как добраться до нужного места.

Как выучить эти непонятные слова? В качестве небольшого лайфхака можете думать о том, что “ординат” очень похоже на английское “order”, порядок. Ну а какой порядок, как учит российская история, может быть, кроме как строгого расположения элементов сверху вниз?

Следует сию секунду заметить, что “точка” — это очень таинственное понятие, а не просто вам где-то кляксу поставить. Как и всякие прочие художества, точка это тоже фигура, только она принципиально не имеет никаких размеров — ни длины, ни высоты, ни ширины, ничего вообще! Забавно, что отсутствие всего этого никак не мешает ей существовать, хотя в “физическом мире” это было бы явно невозможно. Если такие факты вас не впечатляют, нервы слишком крепкие, то подумайте о том, что плоскость (не имеющая ширины) можно представить состоящей из бесконечного набора точек (не имеющих вообще никаких измерений). Все юношеские годы нас заставляют исследовать ничто при помощи ничего… и даже случайным словом об этом не обмолвятся.

 

На самом деле то, что мы сейчас сделали (да и применяли до этого) называется координатным методом, а сами числовые оси — координатными прямыми. Простейшая система координат, состоящая из двух прямых, нами построенная, называется Декартовой системой координат. Сейчас это всё выглядит ерундой, но само введение подобного метода существенно преобразило математику, одним рывком сблизив геометрию и алгебру (иначе говоря, рисуночки и длинные формулы), до тех пор казавшихся крайне чуждыми областями. Чуть ниже будет видно, что мы имеем в виду.

Последнее замечание, предваряющее более симпатичные примеры, будет про описание очень важной фигуры (не беспокойтесь, она-то уж точно существует), без которой все остальные оказываются бесполезны. Фигура эта называется “угол” (angle). Убедительного определения того, чем она является, снова нет. Заметили тенденцию? Каждый раз, когда речь заходит о чём-то фундаментальном, в отсутствие чего вся остальная система понятий моментально рушится, то чёткого определения найти не удаётся. Так вот, про угол…

Здесь мы имеем несколько фигур, называемых отрезками прямой, у которых есть общее начало в точке , а концы лежат уже в разных местах. Отрезки однозначно задаются благодаря указанию их начальной и конечной точки, т.е. в нашем случае определяются как и . Вновь обратим внимание — наличие нескольких букв рядом не означает операции умножения, так как пока мы не делаем вообще никаких операций, а только описываем фигуру. Какую точку мы выбираем началом отрезка, а какую концом, совершенно не важно, главное потом не менять показаний и этих обозначений придерживаться.

Будучи положенными на плоскость, отрезки не просто пересекаются (точка пересечения отрезков и прочих линий называется “вершиной”), а находятся друг к другу в некотором особенном отношении, которое ни в коем случае нельзя назвать случайным. Что это за отношение? Говоря грубо и даже слегка нахально, его можно назвать положением одного отрезка относительно другого. Ведь сами точки, образующие нашу фигуру, да и конкретные их координаты — это ещё далеко не вся информация, которую мы можем из рисунка вытянуть.

Однозначно задать положение одного отрезка к другому позволяет угол (ввиду дефицита символов углы принято обозначать именно греческими буквами). Если мы условимся этот самый угол не менять, то получившуюся фигуру можно как угодно крутить, отражать, перемещать вверх-вниз и тому подобное, положение одного отрезка относительно другого никак не изменится. Почему? Да потому что само это положение однозначно определяется углом, который мы договорились оставить неизменным.

 

 

Вот эти все греческие буквы, которые не учил никто, это не обязательно совсем. Угол можно просто обозначать через отрезки, которыми он и образуется. Например, выше у нас угол , потому что когда по этим точкам переходим, от одной к другой, сам угол заодно и рисуем. Ну а значок нужен чтобы показать, мы и правда про углы говорим, а не о чём-то своём.

 

 

Так и хочется сказать, что угол всего-навсего показывает то, насколько одна прямая наклонена относительно другой, но есть риск впасть в порочный (в хорошем смысле) круг — в конце концов, “наклон” как раз и подразумевает, будто читатель уже знает, что такое угол и как его измерять.

Также можно сказать, что угол это показатель того, сколько плоскости зачерпывается между отрезками. Если вы играли в великую игру Commandos, то с углами в их первозданном понимании сталкивались каждый раз, стараясь обойти и незаметно устранить вездесущую стражу. Можем держать пари, что подчас вы были готовы отдать самое дорогое, лишь бы сделать угол обзора противника хоть немного поменьше:

 

 

Если углы могут в принципе быть равны или не равны друг другу, встаёт закономерный вопрос о том, как их измерять. Здесь нам помогает подход типа “задом-наперёд”. Давайте сначала узнаем, сколько вообще может составлять максимальный угол, а отсюда вычислим и его части. Сказано-сделано. Берём наши отрезки, фиксируем один из них (например, ), а второй начинаем поэтапно крутить по направлению влево, пока он не вернётся на исходное место:

 

Ещё в детстве, лениво помешивая чай на кухне, многие имели возможность сделать тревожное открытие — стрелки на кухонных часах то и дело возвращались на прежнее место. Спустя какое-то время именно в результате этого начиналась новая минута, а затем — и целый час. Постараемся хотя бы мысленно вернуться в прошлое и осознать этот факт заново. Согласно определению, если одно число больше другого, то второе содержится в нём какое-то количество (не обязательно целое) раз. Поэтому то, что час состоит из минут, означает, что он делится на равных частей, минут, которые тоже делятся на частей, называемых секундами.

А на сколько равных частей мы можем поделить наш “полный оборот” в случае, когда рассматриваем не минуты и часы, а единицы измерения углов? Да насколько захотим — хоть на две, хоть на четыре, хоть на . Тем не менее, в силу исторических (и не только) особенностей, делить данный круг принято ровно на   частей, называемых “градусами”. Сами градусы обозначаются маленьким кружочком сверху значения, к примеру, некий угол может быть равен . В отличие от алкогольных напитков, большие значение углов не гарантируют вам более приятных (или неприятных) ощущений от последующих процессов, скорее, напротив.

Зная, что любой угол задаётся как некий набор (даже сумма) единичных элементов, т.е. градусов, мы можем любые углы не только вычислять, но и распределять по различным категориям.

Начнём с “прямого угла” (right angle) (или ), равного . Этот угол, как можно догадаться, занимает ровно четверть () от максимально возможного угла (т.е. от полного оборота). Кроме того, прямой угол это вообще единственный, имеющий обозначение в виде квадратика — ну чтоб сразу было понятно, о чём речь. Любые отрезки и линии, пересекающиеся под таким углом, называются “перпендикулярными”, а выражение “опустить\провести перпендикуляр” означает, что мы просто проводим новую линию относительно чего-то, но под строго прямым углом.

Все углы, которые меньше прямого, называются “острыми” (acute). К примеру, , меньший прямого угла — острый, как и любые другие, находящиеся в синей зоне рисунка.

Углы в два раза больше прямого, равные , это — “развёрнутые” (straight), в нашем случае это угол , или, что то же самое, . Можно видеть, что в случае с развёрнутым углом мы получаем просто прямой отрезок .

Углы меньше развёрнутого, но больше прямого, именуются “тупыми” (obtuse) и располагаются в жёлтой зоне, — один из таких, ведь он больше прямого угла , но меньше развёрнутого угла .

Углы, больше развёрнутого, но меньше полного (т.е. ) в русском языке ровно так и называются, а в английском для них есть термин reflex angle. Два угла, расположившиеся в розовой зоне, вполне подходят под это описание.

Количество (и конкретное значение) углов имеет решающее значение для однозначного описания фигур. Давайте начнём с четырёхугольников. Почему именно с них? А вот потому, что мы уже знаем по этой теме даже больше, чем можно было предположить. В частности, вспомним то давно минувшее время, когда мы только знакомились с числами, используя цветные кубики, кирпичики и прочие строительные блоки. Пересчитав углы, можно убедиться, что их в любом кубике действительно четыре, как и четыре стороны, кубик формирующих. Более того, все эти углы прямые, поэтому название такое — “прямоугольники”. Также, уточняя, их можно назвать “правильными четырёхугольниками” — так говорят, когда все углы в фигуре равны друг другу. В общем, следующая картинка должна оказаться вполне знакомой:

Попробуем разузнать о получившейся фигуре (а комбинация различных фигур это вполне себе фигура и сама по себе) ещё  чего-нибудь эдакое. А именно, нас будет интересовать “площадь”, в т.ч. универсальный метод её нахождения. Площадь в данном случае это та часть, тот участок плоскости, который ограничивается рассматриваемой фигурой. Как её найти?

 

 

Площадь — это вот то у нас, что кубиками занято разноцветными, ну т.е., что получается закрашенным. А всё белое вокруг, где никаких цветов и рисунков, это другая часть плоскости, которая не интересная совсем. Если формулу найти для площади — кубики не надо будет каждый раз считать, а то размеры удобные для них выбирать и чертить каждый раз очень утомительно! 

 

 

 

Оказывается, и это мы уже узнали, когда… только начали знакомиться с числами. Ещё раз посмотрите на наш прямоугольник. Как узнать, сколько в нём всего кубиков? Эту задачу мы разрешили, прицельно подумав о сложении, а как следствие этого —  об умножении. Если мы знаем размер всех сторон прямоугольника, то нужно просто одну из них умножить на другую. Для простоты эти стороны иногда называют шириной и высотой, но это не обязательно. Обозначим их удобным для нас способом, например, используя буквы и :

Тогда площадь прямоугольника (обычно площадь обозначается буквой ) оказывается:

   

Заметьте, что мы не только показали, что знакомясь с умножением, заодно получили метод нахождения площади. Мы от геометрии, от обычного рисунка перешли к алгебраической, формульной записи, забыв про всякие отрезки и начав работать напрямую с числами. А теперь представьте, что на этот путь у человечества ушло много, много веков развития мысли. Впрочем, что ещё можно было ожидать от древних, у которых даже аккаунтов в Инстаграме не было?

Двинемся дальше. Хотя нет, шутка, не двинемся. Почему нет? Формулы для площадей большинства встречающихся фигур на плоскости вы уже знаете. Серьёзно. Вы их узнали, как только поняли, что такое умножение. Осталось только спросить себя “правда ли я это всё невольно усвоил?”. Правда. Действительно усвоили. Это мы сейчас и покажем. Про площадь квадрата распространяться не будем, так как это частный случай прямоугольника, у которого не только все углы равны, но и все стороны, площадь находится точно так же, умножением одной стороны на другую.

А поговорим мы о треугольнике. У этой замечательной фигуры (как вы думаете, сколько в ней углов?) множество любопытных свойств, о которых вы узнаете не здесь и не сейчас. Мы пока, напомним, беспокоимся о выведении площадей. Ну что, давайте выводить. Изобразим прямоугольный треугольник.

Какую площадь он ограничивает? Так сразу и не скажешь, надо посчитать, да к тому же иметь дело с нецелым числом содержащихся ячеек… Но минуточку, голос из прошлого нам говорит, что мы это уже знаем? Но ведь до сих пор мы слышали только про то, как узнать площадь прямоугольника? Значит, нам нужно просто получить прямоугольник, достроив до него наш треугольник!

Теперь нам остаётся только найти площадь прямоугольника и разделить её пополам, ведь исходный треугольник ровно в два раза меньше достроенной фигуры.

   

В треугольниках перпендикуляр, опущенный из любой вершины  на противоположную сторону, называется “высотой”, а та сторона, на которую он опускается, зовётся “основанием”. Поэтому говорят про площадь треугольника как “половине произведения основания на высоту”.

Несёмся, рвёмся, кидаемся вперёд. В случае с прямоугольным треугольником ясно, а что если перед нами какая-то дичь, которую до прямоугольника никак не достроить? Например, мы видим следующее:

Прямых углов и правда не видать. И как здесь нас выручат предыдущие знания, учитывая, что они имеют отношение только к прямоугольным случаям? Да очень просто, если прямого угла нет, мы его себе придумаем, опустив соответствующую высоту:

Добавление высоты разбило наше изначальное основание на две части, и . Притворимся, что у нас нет измерительных устройств и разлиновки всех координатных осей. Будем по-прежнему  пользоваться только тем, что уже знаем, включая недавно освоенную магию формальной записи.

Итак, площадь прямоугольного треугольника, находящегося слева от высоты, оказывается равна . Площадь треугольника, который разместился справа от разделения, равна . Значит, площадь исходного треугольника находится как сумма этих двух прямоугольных: . Тут мы сразу видим общий множитель , который нещадно выносим за скобки, получая . Но что такое ? Правильно, это наша исходное основание. Получается, что итоговая формула не отличается от формулы для прямоугольного треугольника!

   

Не будем замедляться, найдём площадь трапеции. Это такой четырёх угольник, у которого две стороны параллельны между собой, а две другие нет. Параллельны? Ах, мы же этого ещё не знаем… Две линии называются параллельными, когда как бы далеко мы их ни продляли, на плоскости они никогда не пересекутся. К примеру, в прямоугольнике все противоположные стороны параллельны друг другу. Итак, встречаем трапецию:

Будем атаковать дьявольское отродье тем же способом, что разделались с обычным треугольником. А именно: опустим высоту в двух местах.

Эта операция дала нам два треугольника, разбив основание на три неравные части. А что это такое посередине образовалось? Так это уже знакомый нам прямоугольник! Получается, площадь трапеции находится суммированием площадей всех трёх фигур, то есть:

   

Так же выносим общий множитель, получая:

   

Внутри скобок у нас обнаруживается ещё один общий множитель, который мы тоже выносим:

   

Нда… ответ получился как-то не очень. Хотя… погодите, а что такое ? Это то, что получается, когда мы из нашего первоначального, большого основания вычитаем участок , являющийся стороной прямоугольника.

В соответствии с этим наблюдением:

   

Но тогда немедленно следует вывод:

   

Дамы и господа, Элвис в здании! Всего лишь переписав одно из слагаемых, мы получили формулу для площади трапеции, которая равна половине произведения высоты на полусумму оснований. В нашем конкретном случае .

В принципе, мы могли достроить трапецию до прямоугольника, а потом вычесть площади лишних прямоугольных треугольников, итог получился бы аналогичным.

Так, неужели для нас не станет преградой даже величественный ромб? Это такой четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой, но не являются прямыми.

Тут нам понадобится не один, а целых два перпендикуляра, которые мы немедленно добавляем на рисунок.

Этой операцией мы поделили ромб на четыре совершенно одинаковых (доказательство этого вы обнаружите в прилагающихся задачах) прямоугольных треугольника. Площадь одного такого равна:

   

Так как таких треугольников , то итоговая площадь получается:

   

Говоря простыми словами, площадь ромба равна половине произведения диагоналей, а в нашем случае .

Заметьте, всех этих результатов мы достигли, не зная ничего, кроме формулы для площади прямоугольника. Более того, полученные выражения даже не нужно запоминать, при необходимости мы всегда сможем получить их заново. А вот что запомнить и правда нужно, так это сам подход к разрешению проблемы — опираясь на то немногое, что уже известно, мы тихонько протаптываем дорожку к совсем экзотичному и таинственному.