Скажите, какого это — ощущать себя обманутым, покинутым, преданным теми, кому больше всего доверял? Как справиться с этой пожирающей изнутри экзистенциальной бездной? Только не надо говорить, что вам такое не известно, так как до сих пор личная жизнь была образцовой — дело вовсе не в этом. Предателя нужно искать не в воспоминаниях и выцветших телефонных книгах,  а в наших статьях. И этот предатель — мы. В прошлый раз, говоря о степенях, мы сознательно, с циничным и холодным расчётом умолчали о целом типе степеней, без которого разобраться в полном курсе математики вряд ли получится.

В принципе, это можно было заметить сразу. Говоря о том, как возводить в степень различные дроби, мы не упомянули обратную ситуацию — а что если сама степень является дробной? В таком случае привычная логика (это в которой можно использовать кубики) даёт нехилый сбой — умножить число само на себя неполное число раз едва ли получится, тем более представить всё это через сложение. Наверное, пора тянуться к справочникам, наизусть заучивать определения и десяток-другой не самых симпатичных формул? Не стоит отчаиваться, давайте разрешим эту задачу так же, как и все другие — последовательно, мудро и с неизменным юмором.

Начнём с простого. Вот, допустим, перед нами возникло что-то вроде 2^{\frac12}, как с этим быть? Сходу, как уже сказали, сделать ничего не получится, а направления, в котором следует мыслить, нам никто ещё не подсказал. Выхода не остаётся, кроме как исходить из уже известного. А что известно-то? Вроде как 2^{\frac12} это бессмыслица. Но нами было установлено, что при умножении элементов с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Так же было замечено, что любое число в первой степени это оно само и есть. Значит, можно сказать, что 2^{\frac12} \cdot 2^{\frac12} = 2^1 = 2. Что из этого следует?

А следует, что 2^{\frac12} это такое число, которое при умножении само на себя (т.е. возведении в квадрат) даёт двойку. Опираясь на прошлые рисунки, сразу скажем, что тут мы выполняем обратную задачу. Если раньше у нас были какие-то числа и мы строили на их основе квадраты, то теперь наоборот, у нас уже есть некий квадрат с заданный площадью, а нам нужно найти его сторону. Число в центре здесь указывает на общую площадь фигуры, а числа около сторон — на их длины:

Rendered by QuickLaTeX.com

Записывается это следующим образом: 2^{\frac12}=\sqrt{2} и читается как “квадратный корень из двух”. Нелепый знак \surd называется “радикал”, а операция, которую он обозначает — “извлечением арифметического корня”.

Эм…Шеф, не гони лошадей. Почему корень квадратный-то, да и только? Ведь указанная нами выше логика работает и для всех остальных показателей. В том смысле, что можно определить степень \frac13, по которой 2^{\frac13} \cdot 2^{\frac13} \cdot 2^{\frac13}=2^1=2 и так далее, вплоть до степени \frac{1}{n}.

Подмечено верно, корни могут быть не только квадратными, также они могут быть и кубическими (то есть, когда степень корня это тройка), и хоть пятой, хоть любой другой степени. Записывается это всё путём указания верхнего индекса для корня, к примеру \sqrt[3]{2} это “корень третьей степени из двойки”, ну а \sqrt[n]{2} это “корень степени n из 2“.

 

А как так вообще вдруг получилось, что степень 2 это квадрат, а 3 — это куб? Ой, да мы же это проходили уже! Квадрат это значит, что мы такой квадратик нарисовать можем. А в третьей степени, это значит, что кубик с похожими сторонами можно найти везде, хоть бы и в магазине игрушек. А вот со всем, что больше, ну или меньше, такого ясного-понятного не представить и с реальными предметами не проделать. Печаль-тоска-огорчение…

 

 

Надо признать, что сама по себе запись может оказаться достаточно путаной. В частности, тут есть место извечной людской неаккуратности — знак корня постоянно забывают ясно закрыть, по итогам чего совершенно невозможно понять, что является реальным подкоренным выражением, а что стоит совершенно независимо. Подкоренное выражение — это то, что и заносится под знак корня, между прочим. Вообще, если что-то когда-то кажется недостаточно понятным и удобным (например, какое-то объяснение в учебнике), то скорее всего оно так и есть, первое впечатление не обманывает.

Если уж говорить о путаности, то надо заметить, что нами был упущен ещё один важный момент, всё ещё касающийся дробных степеней. Как видите, эта тема — просто-таки непаханое поле для всяких затруднений и неприятностей. Со свойственным нашему изложению изяществу мы показали, что \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}, но что делать, если наша степень такова, что у неё в числителе стоит не единица? Например, как понимать запись вида a^{\frac23}? Для ответа на этот вопрос следует прибегнуть к уже знакомой нам логике — будем отталкиваться от единицы.

Мы знаем, что a^1=a, этого должно быть достаточно. Помня о сложении степеней при умножении, имеем a^{\frac23} \cdot a^{\frac13}=a^1. Следовательно, для нахождения искомого значения нам надо разделить a^1 на a^{\frac13}, иначе говоря, получить дробь вида \frac{a}{\sqrt[3]{a}}. Собственно, это верно не только для \frac13, а вообще для любого случая:

    \[a^{\frac{n}{m}}=\frac{a}{a^{\frac{m-n}{n}}}\]

Отлично, с задачей мы справились, можно идти дальше!.. Как это не справились? Вот же формула, всё выведено, измерено, что не так? А… Вам интуитивность какая-то ещё нужна, наглядность… Ну хорошо, давайте попробуем. Для этого воспользуемся подходящим примером, например, взяв в качестве опытного материала восьмёрку. Чему равна 8^{\frac23}? Согласно нашей инструкции, нужно 8^1 разделить на 8^{\frac13}, что мы и сделаем, попутно обнаружив, что кубический корень восьмёрки равен \sqrt[3]{8}=2, т.к. 2\cdot 2\cdot 2=8. Итак, считаем:

    \[8^{\frac23}=\frac{8}{8^{\frac13}}=\frac{8}{2}=4\]

Обратим внимание, что 4=2^2=\sqrt[3]{8}^2, то есть, мы извлекли корень в той степени, на которую указывал в выражении 8^{\frac23} знаменатель, а полученный результат возвели в степень, на которую указывал числитель. Совпадение? Не думаем!

Смотрите, давайте рассмотрим это явление подробнее, только подберём пример посложнее, например, 7^{\frac{5}{11}}. Как понимать вот это всё? Да очень просто, мы всего лишь представляем это слабо понятное месиво в более привычном для нас виде 7^{\frac{5}{11}}=7^{\frac{1}{11}} \cdot 7^{\frac{1}{11}} \cdot 7^{\frac{1}{11}} \cdot 7^{\frac{1}{11}} \cdot 7^{\frac{1}{11}}=\sqrt[11]{7} \cdot \sqrt[11]{7} \cdot \sqrt[11]{7} \cdot \sqrt[11]{7} \cdot \sqrt[11]{7}.

Видите? В этом нет ничего сложного, ведь если разложим любую дробную степень на сумму степеней с числителем  равным единице (то есть, на корни в степени знаменателя), то смысл этого числителя станет понятным — он указывает нам на то, сколько раз была перемножена сама на себя исходная степень. Идея это достаточно простая, но давайте ещё раз проговорим. Вот у нас 7^{\frac{5}{11}}, что это? Это корень степени 11, возведённый в 5-ю степень. Почему? Потому что выше мы показали, что данное выражение раскладывается на 5 множителей, где у каждого в числителе степени стоит единица. А сколько будет, если пять единиц сложить друг с другом? То-то же!

Давайте наконец жирно подчеркнём то, что с таким трудом узнали:

    \[a^{\frac{n}{m}}={\sqrt[m]{a}}^n\]

Знаменатель — это корень. Числитель — это степень. Если забыли, просто вспомните, что квадратный корень это степень \frac12, а уж у него-то понятно, что обозначает знаменатель. И да — в степень возводится весь корень, а не подкоренное выражение. Это надо запомнить лучше, чем пароль от платного аккаунта на pornhub. Хотя минуточку… вдруг запоминание подобной ерунды как-то помешает по памяти воспроизвести сам пароль? Давайте-ка убедимся, что это действительно необходимо.

Допустим, что у нас есть всё то же {\sqrt[m]{a}}^n, которое, как только что установлено, равно a^{\frac{n}{m}}. А чему тогда будет равно \sqrt[m]{a^n}? Давайте посмотрим. У нас есть a^n, из которого извлекается корень степени m, то есть наше a^n возводится в степень \frac{1}{m}, при возведении одной степени в другую показатели перемножаются, значит, получаем:

    \[(a^n)^{\frac{1}{m}}=a^{n\cdot \frac{1}{m}}=a^{\frac{n}{m}}\]

Чудны дела твои, Господи!

А-ха-ха, это опять шутка, ведь никакого бога нет. Тем не менее, результат примечателен — в силу специфики указанной операции нет разницы, имеем мы дело со степенью выражения с корнем в своём составе, или со степенью подкоренного выражения как такового. А знаете, как это легко запомнить? Вообще не приплетая корни, ведь без этих обозначений никакой неразберихи нет вообще, так как мы точно знаем какие переменные в каких отношениях друг с другом находятся, ну и где у них там все степени стоят.

При кажущейся простоте всего упомянутого следует помнить, что большой проблемой здесь выступает отсутствие внятной иллюстрации происходящего. Конечно, в случае с уже разобранным примером вы сначала можете найти площадь квадрата 7^{\frac{1}{11}} \cdot 7^{\frac{1}{11}}, затем использовать эти данные для нахождения площади квадрата со сторонами в (7^{\frac{1}{11}})^2, ну а потом уже найти финальную площадь прямоугольника (7^{\frac{1}{11}})^4 \cdot 7^{\frac{1}{11}}, однако согласитесь, что это скорее усложняет дело, чем его упрощает.

Rendered by QuickLaTeX.com

Во всём этом проявляется одно интересное, даже удивительное свойство математического мышления — оторванность от “реальных примеров”. Уяснив на конкретной иллюстрации в чём смысл той или иной операции, мы можем бесконечно её усложнять, в том числе и до таких случаев, когда обычное, ничем не расширенное человеческое мышление представить каких-то визуальных воплощений оказывается не в силах. Собственно, если бы не эта особенность, то весь изучаемый материал ограничивался бы… ну… примерно тем, чем он и ограничивается в школе и вузах…

Да нет, опять шутим, конечно, даже в базовом школьном материале содержится куда больше идей, чем те, которые можно получить, чертя многоугольники на песке.

Теперь, когда мы не только раскрыли секрет непонятных степеней, но и снабдили всё это небольшим философским комментарием, перейдём к свойствам операций с арифметическим корнем. Именно к тем свойствам, которые по несколько вечеров в неделю заучивают и повторяют девочки-отличницы, и которых почти не помнят их ровесники-мальчики, больше увлечённые вопросами собственного полового созревания. Именно к тем свойствам, без знания которых у вас не получится нормально написать почти ни одну контрольную, не говоря уже о сдаче итоговых экзаменов. Короче говоря, именно к важным, обязательным для успешного понимания всего, что только можно, свойствам.

Свойства эти… как бы вам помягче сказать… они отсутствуют. Их нет. Серьёзно, на этот раз без шуток. Нет никаких особенных свойств операций с корнями, которые надо было бы запоминать, записывать на бедре под колготками, проносить на шпаргалках в рукаве. Почему? Да потому что абсолютно все “свойства операций с арифметическим корнем” это уже до боли (приятной) знакомые свойства операций со степенями! Несмотря на простоту этого факта, он почему-то часто ускользает от внимания не столько учеников и студентов, сколько уважаемых педагогов с многолетним опытом и общественным признанием.

Повторяем, это не шутка, всё очень серьёзно. Покажем свою правоту, пройдясь по каждому из этих “уникальных свойств” в отдельности.

Начнём с того, что часто называют “правилом вынесения и внесения под корень” и с чем гарантированно хоть раз путался любой, кто с этим сталкивался. Как выносить и вносить, да и причём тут степени? Внимание на экран:

    \[\sqrt[n]{ab}=(ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]

Таким образом, “вынесение из под корня” это обычная формула для степени произведения, которую мы детально препарировали в предыдущем материале. Для большей очевидности поясним всё это на примере. Вот у нас есть \sqrt{9 \cdot 7} и от нас требуется “вынести множитель из под знака корня”, как нам поступить?

А так, что мы вообще забываем про какие-то корни и имеем дело только со степенями. \sqrt{9 \cdot 7}= (9\cdot 7)^{\frac12}=9^{\frac12} \cdot 7^{\frac12}= 3 \cdot 7^{\frac12}=3\sqrt{7}. Иными словами, мы делим подкоренное выражение на две (или больше) части, извлекаем корень оттуда, откуда можно, и записываем итоговое произведение.

Аналогично решается и задача с “внесением под корень”: 5 \cdot \sqrt{11}=5^1 \cdot 11^{\frac12}=(5^2)^{\frac12} \cdot 11^{\frac12}=(5^2 \cdot 11)^{\frac12}=(25 \cdot 11)^{\frac12}=\sqrt{25\cdot 11}=\sqrt{255}. То есть, мы просто ищем изначально заданное число, от которого и была вычислена степень \frac12. Запись (5^2)^{\frac12} имеет ровно такой смысл, ведь степени при такой операции перемножаются, т.е. взаимно сокращаются, оставляя 5^1.

 

 

Э-э-э!! Не выношу вообще тех, которые мутят что-то, если на деле ситуация и так ясная совершенно. Зачем вилять, ерунду городить, когда напрямую сказать можно? Не надо ни про какие “корни” думать, есть просто дробные степени — вот это всё, закрыли ситуацию. Попадись такие умники моему дяде Агабеку…

 

 

Чего там ещё осталось? Например, нахождение корней от дроби. Типа, стоит такая запись \sqrt[n]{\frac{a}{b}}, и что с ней делать? Эх, сложно это всё, придётся ручку доставать, заучивать, повторять. Хотя нет, нам ничего этого делать никогда не придётся. Почему? Ответ такой же, как и в случае последних вопросов — мы знаем про операции со степенями. Не станем скрывать свои знания:

    \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=(\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

Да-да, посмотрите на это хорошенько, не отводите взгляд. Тут ровно то, что мы пристально разглядели раньше — возведение дроби в степень. Кто бы мог подумать, что благодаря этому мы больше никогда не запутаемся во всех этих корнях? Повторяйте за нами: “больше никогда не запутаемся”.

Остаётся совсем немного. Например, как не указать на такой необычный факт, что при умножении чисел на дробь возможны сокращения? Правда-правда, вы только не пугайтесь, но всё именно так и есть. Вот как эта истина выглядит на величественном языке арифметических корней:

    \[\sqrt[nk]{a^k}=(a^k)^{\frac{1}{nk}}=a^{\frac{k}{nk}}=a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]

Не впечатляет? Это всё потому, что вы слишком испорчены пониманием того, что корни это сокращённый вариант записи степеней (это мы не устанем повторять, совсем как ваша мама, умоляющая надеть шапку при температуре на улице меньше +15 градусов). Не знай вы этого обстоятельства, то перед очередным зачётом могли бы не одну ночь развлекали себя мыслью “разве это всё кто-нибудь может запомнить?”.

Совсем уж напоследок упомянем и особый случай. Особый случай это когда люди, составляющие задания для школьных и студенческих учебников, по какой-то причине не очень довольны своей жизнью. Печально, зато у них в руках есть какая-никакая, а власть. Что надо с властью делать? Правильно, использовать её, чтобы отомстить тем, чья жизнь ещё полна радостей и перспектив — проклятым молодым поколениям. Как этого добиться? Путём составления излишне сложных и неприятных задач, решение которых ничуть не приближает к пониманию сути производимых операций, да и вообще едва ли когда либо ещё пригодится.

Почётное место в списке таких упражнений занимают всевозможные “лесенки”. Когда одно нагромождается на другое, тем более с учётом низкого качества типографии, достигается главная цель — морально унизить и потрясти читателя, создать ощущение вала информации, тотальной неразберихи и обречённости на поражение.

Есть лесенки и применительно к корням. Давайте их сейчас уничтожим (раз добраться до  авторов-составителей всё равно не получится):

    \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=(a^{\frac{1}{m}})^{\frac{1}{n}})=a^{\frac{1}{nm}}=\sqrt[nm]{a}\]

По мере просмотра этого упрощения у вас может возникнуть закономерный вопрос — если итоговое выражение достаточно простое, то зачем в самом начале записывать его таким чудовищным образом? А затем, читатель, чтобы ты подольше мучался, пытаясь привести его в удобоваримый вид.

Вообще, по итогам прочтения статьи у вас могло сложиться мнение, что сама манера обозначения арифметических корней нам не нравится. Что они неуинтуитивны, в них легко запутаться, а при записи от руки они требуют идеальной точности, либо велик риск по мере вычисления возвращаться на 50 действий назад снова и снова. Что ж… это всё так и есть. В случае небольшого количества элементов использование корней и правда придаёт некоторую узнаваемость происходящему. А вот во всех остальных случаях от них стоит воздержаться. Если воздержание оказалось неудачным, то следует помнить главную максиму нашего изложения: корни — это степени.

Думаете, про степени уже знаете всё? Как бы ни так, ведь совсем по-близости уже рыскает в темноте очередная статья…