А можно покороче?

Если вам удалось отойти от предыдущего материала, посвящённого напряжённым вычислениям логарифмов, то давайте переходить к новой теме. Точнее, даже и не теме, а так, некоторым формулам, которые нужно не просто вспоминать незадолго перед экзаменом, а следует держать в памяти всегда, так как порядка заданий не могут обойтись без того, чтобы их так или иначе не использовать. Называются эти формулы “формулами сокращённого умножения”.

По каким правилам осуществляется умножение мы вроде уже поняли, а как его выполнять быстрее и элегантнее? Речь про то, что целые листы виртуального пространства тратить вовсе не обязательно. Если так, то почему мы этими чудными фокусами постоянно не пользуемся?

К сожалению, общая картина отнюдь не такая радостная. Действительно, умножение можно проводить по сокращённому варианту, но только иногда, когда выполняется ряд строгих условий. Что это за условия и как их достичь? Обо всём — по порядку. Для начала давайте ещё раз подумаем о том, чем же является умножение и сопутствующие ему операции. Воспользуемся (мы же обещали!) иллюстрацией.

В полном соответствии тому, что мы говорили раньше, умножение может быть истолковано как нахождение площади соответствующего прямоугольника. Более того, такая трактовка будет совершенно верной, как мы не раз и не два показывали на различных примерах, вроде такого:

В данном случае площадь прямоугольника, т.е. произведение сторон и будет равно просто . Но как вести себя в случае, если наши множители не выражены одним символом, а являются результатом какой-то операции вроде сложения или вычитания? Допустим, надо умножить на , что будет ответом? Попробуем разобраться с этим, всё также полагаясь на прямоугольник, где отметим получающиеся стороны:

Как видно из построенного разбиения, площадь всего прямоугольника разбивается на суммы площадей четырёх других прямоугольников, а именно:

   

Хорошо, а если множители не равны друг другу по количеству входящих в них слагаемых? Допустим, надо умножить на , тогда чо? Собственно, ничо такого, делаем то же самое, что и прежде:

Не забыли ещё, что  мы тут за максимальную наглядность выступаем? Мы вот ничего (и никого) не забыли, поэтому закрасим разными цветами прямоугольники, имеющие сторону , и прямоугольники, имеющие сторону :

Получаем, что . Замечаете некоторое сходство? На случай, если не заметили, то подчеркнём, что в итоговом выражении мы каждый элемент одного члена оказывается обязаны умножить на каждый элемент другого. Прямоугольник показывает, почему это происходит — каждое новое деление горизонтального отрезка создаёт ровно новых прямоугольника, которые мы должны учитывать во время подсчёта.

Оценивая же ситуацию с точки зрения высоты мы видим, что каждое её деление порождает новых прямоугольника, т.е. ширина разделена на части. Проще говоря, если умножаете несколько сумм друг друга, и в первой, скажем, элементов, а во второй их ровно , то в итоге у вас получится новая сумма из элементов.

Надо иметь в виду, что это правило работает далеко не только в том случае, если мы имеем лишь сложение. Надо будет посчитать , нарисуем следующее:

Применяя только что открытое правило, выводим . Из этого особо ничего не понятно?

Тогда давайте сгруппируем все слагаемые в симпатичные блоки и вынесем общий множитель: . А вот теперь уже точно видно, что мы просто взяли площадь прямоугольника и последовательно вычли из него прямоугольники со сторонами и .

Заметьте, что мы просто перегруппировали элементы выражения, никак не изменив ни сами элементы, ни итоговое выражение. В этом и состоит смысл подавляющего большинства подобных манипуляций с формулами: мы всего лишь переставляем элементы так, как нам удобно. Для сравнения представьте себе обычный паззл, состоящий хотя бы из сотни фрагментов. Вас попросили сосчитать всю площадь, которую занимают эти кусочки, при этом от остальных ежедневных дел никто не освободил. Конечно, можно измерить площадь каждого из кусочков (какой бы странной она ни была) и суммировать, но ведь куда проще собрать прямоугольную рамку, после чего решить задачу, умножив всего лишь два числа.

 

Вот чем умножение люблю — его всегда можно нарисовать. И не важно совсем, сколько всего умножать, по очереди можно сначала одну плиточку сделать, потом другую, ну и так далее. Самое милое, что работает это всё и в очень неприятных формулах, которые заучивать ещё сложнее, чем стихи Маяковского!

 

 

 

 

Не следует думать, что математические задачи (по крайней мере, непрофессионального уровня) чем-то принципиально отличаются от детских головоломок.

Воодушевлённые открывающимися возможностями, давайте теперь пройдёмся по основным формулам сокращённого умножения, благо их не так уж и много.

Первой из них оказывается “квадрат суммы”, которая записывается совсем так же, как и слышится: . На что распадается такое выражение? Учитывая, что мы в курсе про умножение суммы одних элементов на сумму других элементов, можем взять и посчитать значение , но зачем считать, когда лучше рисовать?

Вот наш квадрат со сторонами :

Из рисунка можно заметить, что благодаря пунктирным линиям квадрат разбивается на два квадрата и два прямоугольника. Закрасим квадраты синим цветом, а прямоугольники — оранжевым. Чему равна получившаяся площадь?

Площадь большего квадрата равна , площадь меньшего квадрата равна . Остаются два прямоугольника, но так как оба они имеют большую сторону и меньшую , то площадь их равняется , ну а всего их два, т.е. суммарная площадь получается . Зафиксируем итоговый результат:

   

Опять же, для получения данной формулы единственное, что следует запомнить, это то, как рисуется квадрат, а чтобы забыть даже это, нужны многолетние направленные старания.

Где есть сумма, там наверняка может поселиться и разность, т.е. результат вычисления , или квадрата разности, нам тоже пригодится. Раз пригодится, то давайте приниматься за работу:

Для нахождения искомой площади квадрата со сторонами (для второй стороны мы не указали длину, просто чтобы рисунок нелепо не растягивать) нужно взять большой квадрат и вычесть из него все лишние отрезки, т.е. два прямоугольника площадью . Давайте их тоже выделим цветом:

Так, а почему это в районе квадрата со сторонами , который в правом верхнем углу, у нас цвета наложились друг на друга, дав зелёный? А потому, что мы выделяли два прямоугольника , не обратив внимание на то, что квадрат входит как в площадь одного, так и второго. То есть, мы взяли один лишний раз. Но если мы его нечаянно решили вычесть, то давайте исправимся и прибавим обратно:

   

Такие дела, вопрос о квадрате суммы и квадрате разности мы для себя закрыли. Помимо того, что к этой формуле различные выражения надо будет сводить постоянно, без всяких поблажек и перерывов на обед,  ей также можно пользоваться и для того чтобы произвести впечатление на окружающих. К примеру, можете спорить на деньги, что достаточно быстро возведёте в квадрат любое двузначное число. Например, .

Как не проиграть с таким трудом заработанные рублики? Достаточно представить слегка иначе:

   

Серьёзно, не стесняйтесь блистать подобными навыками на вечеринках, девушки от этого без ума (на самом деле нет).

Плавно перемещаемся к следующим размышлениям. Если квадрат суммы и разности мы определили, то что делать с разностью квадратов ? Ведь таких удобных рисунков мы с ними не получим:

Здесь мы не стали затягивать и сразу закрасили всё, что нам нужно — площадь маленького квадрата и всё остальное, что предстоит найти. На всякий случай заметим, что т.к. наш исходный квадрат занимает площадь , то это всё, выделенное зелёным цветом.

Печальным обстоятельством выступает тот факт, что никакой единой фигуры тут нету, придётся отдельно считать площадь или двух, или даже трёх прямоугольников, складывать её и… Хотя погодите… Не зря же мы большую часть статьи посвятили тому, что при желании всеми частями фигур и вообще элементами можно как угодно распоряжаться, лишь бы их суть осталась нетронутой?

Значит, ровно так мы и распорядимся. Возьмём прямоугольник, стоящий сверху на , отломим его, как кусок шоколадной плитки, и переместим на вершину правой части:

Практически ниоткуда, из клуба чёрного дыма, сопровождаемый дьявольским закадровым хохотом, появляется полностью зелёный прямоугольник со сторонами и , вобравший в себя всю искомую площадь. Такое стоит без малейших промедлений записать:

   

Наша память по-прежнему девственно чиста. Ну ладно, может теперь она занята не только тем, как рисовать квадрат, к нему добавились другие виды прямоугольников, но это всё ещё приемлемая цена за овладение навыками умножения.

Да, про умножение… Стандартные формулы для его сокращённой версии включают в себя и всякие “кубы суммы”, “кубы разности” и даже “разность кубов”. Думаете, мы сейчас всё в очередной раз нарисуем, расчертим линии и придём к финишу? Да как бы не так, “кубы” имеют отношение уже к трёхмерному пространству, а изобразить его на плоскости хотя и можно, но весьма трудоёмко, да и рассмотреть всё в деталях куда труднее.

Но это не значит, что нужно бить тревогу. Начав изложение с того, как умножать одну сумму (или разность) на другую, давайте этим же правилом и заканчивать. Посчитаем значения искомых формул, зная уже имеющиеся данные для квадратов:

   

   

   

   

Получилось не очень визуальненько, но ведь получилось же, да и времени мы сэкономили на порядок больше, чем если бы решили всё тщательно отрисовывать. Пора оставить вас наедине с этим обилием новой информации. А если где-то в глубине сознания сейчас начинает тяготить вопрос “зачем мне это всё надо?”, то мы лишь тихонько шепнём: “уравнения”.

Что? Уравнения? Это что ещё такое? А вот так вот, останется вам загадкой, ключик к которой будет подобран только в следующих материалах.