Всё равно?

Рисование, конечно, полезно — вон сколько места мы успели захламить рисунками —, только к чему оно? Да, видно, что некоторые формулы хорошо представляются в иллюстрациях, ну и? Поможет ли это нам что-то решить, вычислить, получить надбавку к стипендии? Не беспокойтесь, поможет, да ещё как. Чтобы убедиться в этом, давайте посмотрим, как умея только рисовать прямоугольники, мы можем вывести отличный способ для решения целого класса задач. Речь пойдёт про уравнения.

Хм… уравнения? Но у нас такого ещё не было… Хотя, и тут вы заблуждаетесь. Подумайте над тем, сколько раз по мере изложения вы сталкивались со всякими выражениями типа и тому подобное. Видите знак равенства? Значит, понимаете, что такое уравнение. Если по-простому, то это некое утверждение об элементах этого выражения. В чём состоит утверждение? В том, что по обе стороны от знака равенства находятся равные выражения, т.е. дающие одно и то же значение.

Звучит, как проклятая тавтология. Да и не только звучит, полноправно ею является. К примеру, вы же не станете сомневаться в том, что ? Надеемся, что не станете, потому это с этой идеей спорить трудно. Ну хорошо, а если с двойками что-то одинаковое сделать, допустим, умножить? Посмотрим: , и ведь правда же . Выполняя одни и те же операции с одними и теми же элементами мы придём к одним и тем же результатам. Каждый раз. Гарантированно. Потому что имеем дело с равенством.

Уравнением наше равенство становится тогда, когда в нём появляются неизвестные переменные, которые мы во чтобы то ни стало должны сделать известными. Допустим, это равенство, а вот это уже уравнение, ведь значение одного из элементов от нас намеренно скрывается. Для его отыскания нам нужно восстановить логику проведённых операций в обратном порядке, типа “у нас есть , которую получили умножением на , как же тогда найти “?

Для этого нужно совершить действие, обратное тому, что было проделано в оригинале. Совсем как возведение в степень и извлечение корня, которые мы уже рассматривали, только куда проще. Перед рассмотрением конкретных примеров давайте сделаем крохотное отступление и ещё раз подумаем, о чём именно нам пытается молчаливо поведать любое уравнение (да и равенство тоже).

Речь в них идёт исключительно о том, что выражения по обе стороны от знака равно это одно и то же, но записанное разным способом. Ради пояснений такого плана часто рисуют числовые линии (мы это тоже сделаем), хотя это и не обязательно. Каждое число мы можем рассматривать не только как длину отрезка, но и, например, как площадь любой интересной для нас фигуры, или что угодно ещё.

Взять хотя бы , уже тут можно привлекать рисунки, даже самые нелепые:

Обратите внимание, совершенно не важно, какую именно фигуру мы хотим изобразить, если гарантируем, что она имеет заданную площадь. Такие манипуляции в итоге позволяют не просто понять, почему в уравнениях так часто используются всякие упрощения, но и даже прийти к универсальным методам решения! Но обо всём по порядку, начнём с самых типичных ситуаций.

В случае сложения

 

   

Перед нами одного из самого простого, хорошо знакомое всем сложение. Для нахождения переменной (т.е. неизвестного слагаемого) нужно вычесть из суммы известное слагаемое, т.е. . Ведь если мы из какой-то точки сделали шага вправо по числовой прямой и попали в , то для нахождения этой точки нужно проделать обратный путь, равный шагам влево.

Сразу изобразим это на “языке площадей”, а в качестве конкретных фигур и вовсе используем квадраты. У нас есть большой, зелёный квадрат, площадь которого равна , а есть маленький, красный квадрат, площадь которого равна . Для отыскания нужно узнать площадь зелёного отрезка, оставшегося от большого квадрата после вычитания малого:

В случае произведения

   

Потихоньку разгоняемся. Так как умножение это короткая запись для сложения, то нам нужно узнать сколько раз сложили саму с собой, иначе говоря, сколько раз умещается в полученном произведении, т.е. .

С прямоугольника задача и того проще — у нас известна общая площадь и две противоположных стороны, нужно найти оставшиеся стороны.

 

В случае вычитания (1)

   

Время провернуть логику сложения в обратном порядке. Мы начали движение из точки , сделав шагов непонятно куда и попали в точку . Как узнать количество и направление проделанных шагов? Надо всего лишь узнать разницу между отправным пунктом и тем, куда пришли, т.е. .

 

И этой дорогой мы уже ходили. У нас есть большой квадрат площадью , чьи стороны равны, конечно, . Есть маленький квадрат, площадью со сторонами . Нужно найти разность, т.е. превышение площади одного над другим.

В случае вычитания (2)

, мы начали движение из точки , сделали шагов влево (так как у нас вычитание) и пришли в точку , как узнать откуда мы выдвинулись? Нужно из точки, в которой появились, проделать столько же шагов, но в противоположном направлении, т.е. .

 

Как быть с рисунками? Ведь фигуру с отрицательной площадью мы изобразить не можем, как бы ни хотелось. К счастью, этого и не нужно. Помня о том, что сложение и вычитание это просто путешествие по числовой оси в разные стороны, мы просто переписываем наше уравнение как , после чего делаем ставшую привычной иллюстрацию.

Ещё раз обратите внимание на то, что площадь и длина не бывают отрицательными никогда. Знак минуса означает либо то, что мы отправляемся в путешествие левее нуля, либо что площадь откуда-то вычитается. В английском языке для этого есть хороший термин signed area, который как раз означает “площадь, взятую со знаком”, но в русском такое не прижилось. Так что если видите минус, не переживайте, наглядным представлениям это не помешает.

В случае деления (1)

   

А тут что? Мы разделили на какое-то количество блоков, получив . Как узнать это количество блоков? Нужно найти, сколько раз содержится в , т.е. .

Задача полностью аналогична обычной ситуации с умножением, которую уже разбирали раньше. Поэтому рисовать числовую прямую не станем, сразу перейдя к прямоугольникам. Смотрите, у нас есть квадрат площадью в (соответственно, все стороны по ), надо узнать, сколько прямоугольников площадью мы можем в него запихнуть.

Совсем не сложно, согласны?

В случае деления (2)

   

Слегка посложнее. Мы поделили на блока и обнаружили, что размер такого блока равен , как найти ? Нужно просто умножить размер получившегося блока на их (т.е. блоков) количество, т.е. .

Впрочем, вместо трудоёмких отрезков мы можем просто изобразить прямоугольник с заданными сторонами, поставив задачей найти его площадь:

В случае возведения в степень (1)

   

Мы возвели в куб и обнаружили, что у нас получилась , как найти ? Нужно подобрать такое число, которое при возведении в куб даёт , т.е. . Учитывая, что по мере роста самих степеней иллюстрации становятся всё сложнее и объёмнее, ограничимся формулами. Совсем как взрослые!

 

В случае возведения в степень (2)

   

Вот так незаметно мы пришли к показательным уравнениям, где неизвестные переменные стоят аж в показатели степени. Точнее, мы возвели тройку в степень и обнаружили, что итог равен , как найти ? Нужно найти такое число, которое, будучи показателем степени для , даёт , т.е.

Как и в предыдущем случае, общей рабочей иллюстрации для этого не подобрать, либо её набросок займёт куда больше времени, чем собственно решение. Уф… Теперь уравнениями нас не удивить, вот они, все разновидности лежат, как на ладони!

 

Слишком просто? Это какая-то начальная школа? Такое фуфло вы и сами решите без лишней помощи? Хм… допустим, это так. Только в реальных заданиях фуфло это представлено совсем не в такой примитивной, финальной форме. Сначала вам придётся порядком пострадать, пытаясь все выражения привести к более-менее читаемой форме.

Делается это зачастую использованием двух идей:

1. Одинаковые операции с одинаковыми (в плане итогового значения) элементами дают одинаковые результаты — про это мы сказали, но вы явно не представляете, насколько это важно
2. Элементы лучше всего представлять в максимально удобном виде (при помощи группировок и тому подобного) — это вы могли своими собственными глазами увидеть во время манипуляций с прямоугольниками и в скором времени увидите снова.

Скажем, у вас есть , вместо мучений с дробями вы можете умножить обе части на одно и то же число, например, на , тогда получим , т.е. . Работу нам это не сильно сократило, но хоть дроби переворачивать не пришлось, да и вообще с целыми числами куда приятнее работать.

Остаётся сказать, что мы могли перебросить любую из частей на понравившуюся сторону от знака равенства. То есть, было бы совершенно тождественно нашему исходному уравнению.

На чём основывается идея перебрасывания? Да всё на этом же, если мы изначально знаем, что , то тогда число, меньшее этого на двойку, и будет нулём. Из-за неоспоримого удобства операций с нулями большинство уравнений стараются записывать именно в таком виде.

Сами подумайте, ведь если у нас есть , то какое бы умножение или деление мы ни захотели сделать с левой частью, правая по итогам всех превращений продолжит быть нулём. Впрочем, перекинуть вправо любой элемент это нам не мешает: , например. Это, наверное, лишнее, но мы подчеркнём дополнительно, что перекидывание работает только для элементов, участвующих в операции сложения или вычитания, то же это единое число, которое по разные стороны от знака равенства развести не получится.

 

Брат, погоди! Вот тут поподробнее надо. Значит, с одной части в другую можно любые элементы переводить, если только они прибавляются или вычитаются? И что, можно после этого с обеими частями что угодно делать, лишь бы одновременно? А совсем хорошо это когда всё в одной части, а в другой ноль, чтобы делить\умножать удобнее было? Тут попрактиковаться надо будет, руку набить…

 

 

Ещё одна маленькая терминологическая деталь — значения , при которых наше уравнение превращается в долгожданное равенство, называются “корнями уравнения”. Из этого вовсе не следует, что их поиск как-то связан с извлечением корня или степенями, просто название такое, типа, если у растений есть корни, откуда они развиваются, то почему бы и для уравнений их не придумать?

Исторически раздел математики, который занимался поиском того, как решать всякие уравнения, назывался алгеброй. С тех давних пор алгебра ушла далеко вперёд, хотя в обычных школьных и вузовских курсах уравнения до сих пор составляют существенную её часть. Вы же заметили, что мы до сих пор ничего не говорили про “алгебру” и “алгебраические действия”, используя всякие синонимы вроде “формального выражения” и т.п.? Это потому что вас смущать не хотелось. А теперь можете спокойно отправляться ко сну, зная, что алгебраические операции, алгебраические доказательства и т.п. это такие, где присутствует всякая арифметика, перестановки, группировки, упрощение формул и тому подобное.

Группировать и перестанавливать вам придётся много, очень много. К примеру, если мы вдруг увидите уравнение типа , то не удивляйтесь, когда очередной преподаватель вам скажет, что “очевидным образом” это можно представить как:

   

Отсюда видно, что корней у этого уравнения (т.е. значений , при которых обращается в равенство, целых два, это и .

Что-что? Для вас преобразование сверху не кажется очевидным? Вы что, совсем тупые? На уроки не ходили, учебник не читали? Чтобы больше к математике не смели никогда приближаться!!!

К счастью, очень многие способы решения не кажутся очевидными для большинства людей. И даже те, для которых всё очевидно, задавались вопросами о поиске универсальной схемы решения, применимой для любой задачи (в нашем случае — уравнения) конкретного вида. Подумайте, какая чудесная идея — найти решение, которое работает всегда и везде, независимо от “очевидностей”, “понятно, что”, “легко видеть”, “заметим следующее” и всего подобного.

Увы, это удалось сделать далеко не для всех случаев, но мы, к счастью, будем рассматривать именно такой — работу с квадратными уравнениями. Чем квадратное уравнение отличается от обычного? Тем, что в нём неизвестная переменная находится в квадрате, т.е. наше вполне удовлетворяет этим условиям.

 

Вот кстати, где именно стоит искомая переменная и умножена ли она на что-то, совершенно не важно. Уравнение в любом случае будет “кубическим”, если там хоть в каком-то виде есть , при этом никаких других со степенями больше нету. Такая логика работает для любой степени , которую можно придумать. Кстати, у разных степеней есть и важные отличия, например… ладно, не время вам пока этим голову занимать.

 

 

 

Так как мы завели разговор о поиске универсального, общего решения, то и уравнение лучше записывать в самом общем виде, никак не зависящем от частностей. Для квадратного уравнения общий вид выглядит следующим образом:

   

Откуда столько неизвестных? Не стоит переживать, все и даже здесь это обыкновенные числа, или, как ещё говорят, “коэффициенты”, неизвестной переменной является только . Коэффициент называется “свободным”, т.к. он вообще не умножается ни на какой , это обычное число.

Следовательно, для нашего конкретного случая можно установить, что (т.к. стоит сам по себе, а это всё равно, что умножение на ), , ну а свободное ). Имейте в виду, что , как и любой другой элемент, могли бы быть равны нулю, тогда их можно было бы не записывать.

И…что? Как нам это помогло? Из этих обозначений сами по себе должны корни появиться, или что? Вовсе нет. Появиться должно кое-что другое, и оно уже в пути… Скажите, при рассмотрении всяких типов уравнений у вас не возникло дежа вю? Не показалось, что нечто подобное уже видели? В частности, на что похожа вот эта картинка?

Ответьте честно, не позабыли эту иллюстрацию для квадрата разности? Если забыли, то вернитесь к прошлым статьям и всё освежите. Ладно, можно не возвращаться, просто возьмите на заметку, как выглядит готовая формула:.

Она не кажется теперь слегка подозрительной? Просто вот напишите её отдельно, рядом с формулой для квадратного уравнения, заменив на , а превратив в , чтобы не путаться:

   

   

Батюшки… Так они же друг на друга похожи, почти как близнецы, один из которых жил по ЗОЖ и в 30 лет попал под автобус, а второй с лет сидел на амфетамине и дотянул до глубокой старости (для тех, кто сидит на амфетамине, это любой возраст больше )!

Может… их можно как-то совместить, вновь сделать точной копией друг друга, вернувшись в счастливое пригородное upper middle class детство? Давайте сильно в дебри не уходить, мы всё ещё имеем (правда, пока не во всех смыслах) . Как это представить в виде какой-то из “квадратных” формул? Да и вообще, зачем это делать?

Попробуйте вспомнить, как легко и приятно нам было работать с формулами сокращённого умножения. Неужели вам не хочется испытать чего-то подобного вновь, пусть бы перед нами и оставлены на растерзания невиданные ранее квадратные уравнения?

Рискнём пояснить логику процесса, нарисовав себе небольшое подспорье:

Подспорье никаким реальным масштабам не соответствует, ведь для их указания пришлось бы сначала найти значение . Зато хорошо виден геометрический смысл нашей работы — мы пытаемся найти такие , при которых площадь будет равна сумме площадей двух других прямоугольников ( и , соответственно), ведь именно эту сумму мы из вычтем, получив ноль. Лишний раз подчеркнём, что мы достоверно знаем только площади прямоугольников, а не значения их сторон.

Учитывая, что никаких указаний для работы с неизвестными у нас нет, давайте попробуем в очередной раз задачу упростить. А именно, постараемся свести всё к упражнениям с простыми (и дорогими сердцу) квадратами. По крайней мере, у них со сторонами непоняток никаких не возникает. Если же любая фигура до квадрата не дотягивает, то мы с радостью дополним недостачу.

Дополнять будем не рисованием от руки, а с чёткой опорой на формулы суммы\разности квадратов, ведь с ними работать уже приходилось. Значит, берём рассматриваемое уравнение и стараемся дополнить его до квадрата суммы или разности.

Начнём с того, что хорошенько на само уравнение посмотрим:

   

Минусов тут хватает, поэтому сводить всё будем к квадрату разности, как и предполагалось ранее.

Что есть в квадрате разности такого, чего нет  в нашем уравнении? Будем сравнивать шаг за шагом.

Шаг первый

   

   

Переменная или присутствует что там, что там.

Шаг второй

Можно видеть значение второго элемента в уравнении, это , что соответствует .  Записываем всё аккуратненько:

   

   

   

Шаг третий

Не ленимся, в очередной раз сравниваем два уравнения:

   

   

Что мы о них узнали на предыдущем шаге? Мы узнали значение , а это немало! До приведения нашего уравнения ко второй формуле не хватает сущей мелочи, , но у нас этой девятки нет, на её месте вызывающе расположилось .

Как с этим справиться? В данном случае самым верным способом будет самый дерзкий. Мы говорим “там будет потому что я так решил”, после чего приписываем к уравнению требуемое число:

   

В геометрическом смысле всё, что мы сделали — позаботились о добавлении нового кусочка, который раньше не имели. Конечно, всё это теперь перестало равняться нулю. Да и вообще, будем откровенны — чисто волевым решением прибавив число, мы поменяли само выражение, поэтому вернёмся на место преступления и заметём следы, сделав противоположное действие, т.е. вычитание:

   

Зелёным цветом мы выделяем “положительную” площадь, а красным “отрицательную”. Учитывая, что всё наше уравнение равняется нулю, размышление сводится к детскому заданию: суммарная “зелёная” площадь должна равняться суммарной “красной”, они должны друг друга уравновесить.

Увиденное является чрезвычайно мощным приёмом, при помощи которого можно манипулировать выражениями настолько, насколько вам позволит совесть. Главное помнить, что при операции сложения\вычитания порядок членов не важен, поэтому мы их и меняем местами так свободно.

 

 

Ох… Все эти плюсы-минусы, оттуда убрать, сюда вставить — так сложно понять, почему всё такое работает. Я вот с выражениями если и работаю, то всегда думаю, что у меня как будто горстка пластилина на весах лежит, и можно с ней что угодно делать, главное чтобы вес не менялся. Захочу — сделаю шарики, захочу — кубики, а совсем заскучаю — звёздочки даже. И пока так делаю, могу что-то убирать с весов, например, главное это не забыть обратно положить. Так попроще запомнить, чем “порядок действий” и тому подобное.

 

 

 

Ясное дело, что прибавляли\вычитали мы не просто так. Смотрите, идеально сворачивается в знакомую формулу квадрата разности, сначала мы просто избавляемся от , получив прямоугольник меньшей площади:

 

А теперь, имея лишь одно выражение с переменной, , разбираемся с оставшимися операциями, где в качестве жертв — самые обычные числа:

Ох, как легко в этом всём запутаться… Поэтому напомним о всём пути ещё раз:

Итак, мы имели

   

Добавили и вычли из выражения :

   

Свернули добытую формулу в квадрат и разобрались с оставшимися числами:

   

Проще говоря, добились искомого равенства двух фигур. Между делом, площадь второй фигуры нам известна — она равна —, поэтому нет никакой разницы, как именно мы её представим, если площадь не поменяется.

Если разницы нет, по пусть фигура станет квадратом с площадью , а это значит, что  его стороны найти довольно просто:

   

Отсюда (т.к. при возведении в квадрат дают два числа, одно из них положительное, а одно отрицательное):

   

Скобки здесь обозначают, что каждый рассматриваемых нами вариантов возможен и удовлетворяет условию задачи, т.е. обращает наше уравнение в равенство. Неизвестных элементов при вычитании мы не боимся, поэтому:

   

Таким образом мы не только нашли , но и показали, что наш дополненный квадрат имеет стороны , равные или , или . Отрицательная длина сторон, как и отрицательная площадь, должны пониматься только в том смысле, что сам квадрат на координатной прямой расположен в негативной области, чтобы это закрепить, мы даже сами квадраты изобразим:

Показанный нами метод вообще называется “дополнение квадрата”  (ну… типа… потому что мы дополняли прямоугольники до квадрата) и является универсальным способом решения квадратных уравнений, работающим всегда и везде.

Кстати, так как мы уже знаем корни уравнения, можем нарисовать точную иллюстрацию, из которой видно, почему и правда обращается в ноль, если или :

 

Ладненько… Но что с универсальным и общим методом решения? Пока что мы потратили кучу времени, пытаясь разобраться с не самым сложным уравнением, как же мы решим задачу раз и наперёд? Элегантно решим, конечно, но уже в следующей статье.