Гни свою линию

Ну хорошо, есть у нас зависимости всякие, которые мы зачем-то назвали функциональными сразу решили прерваться. Допустим, они даже выражаются какими-то точными формулами. И что с того? Мало ли что чем выражается, почему этот вопрос вообще достоин рассмотрения, не считая требований учебной программы?

Дело в том, что зависимости не так просты, как можно предположить на первый взгляд. Они содержат ряд полезных, а иногда и вовсе неожиданных свойств. Благодаря тому, что сами свойства вытекают из чётких, ясных определений, нам не нужно их запоминать — достаточно просто понять, почему они работают. Количество сэкономленного времени при этом с лихвой компенсирует все затраты калорий, потраченных на размышление.

Не забудем житейский аргумент — мир, который нас окружает, достаточно хорошо описывается языком математики. Если мы хотим этим миром управлять, не обладая абсолютной космической силой, действия придётся рассчитывать, стараться сделать более эффективными. А для этого нет иного пути, кроме математического.

Сталкиваясь с каким-то уж совсем непонятным явлением, следует помнить — если не существует простого решения, то всегда (ладно-ладно, “почти всегда”) существует решение, построенное на основе простого. К примеру, если вам требуется разобраться с какой-то вполне естественной, реалистичной зависимостью (как уровень вашей зарплаты зависит от просмотра свежих эпизодов Игры Престолов по ночам), то её наверняка можно рассмотреть, используя более простые зависимости (насколько чаще начальник отдела застаёт вас спящим на рабочем месте при постепенном сокращении времени на ночной сон). В свою очередь, рассмотрев достаточно именно простых, базовых математических функций, можно уже и не бояться встретить по жизни нечто неописуемое. По крайней мере, если в вашей жизни не так много продвинутой физики.

Ко всему сказанному о важности зависимостей можно добавить ещё один аргумент — они имеют очень крутое и ясное геометрическое воплощение. Допустим, не все зависимости вообще, но обычные, рядовые, могут быть поняты благодаря рисункам практически с ходу. И не только поняты — хорошо нарисованная зависимость (в дальнейшем будем говорить исключительно о “функциях”) порой делает ненужными и сами подсчёты.

Возможно это становится благодаря его величеству графику функции.

Что такое график? Это множество. Да не само по себе, а множество точек, получаемых благодаря подстановке всевозможных значений в саму функцию. Откуда тут вообще взялись точки, ведь говоря о функциях мы приводили в пример лишь элементы и их отображения? Это правильно… а ещё мы говорили, что не следует забывать славную теорию множеств.

Напомним, что среди прочего, для множеств определена операция “произведения”, т.е. $A \times B$ . Что она делает? Возвращает любые возможные пары элементов $(a_i, b_i)$ , взятые из обоих множеств, при этом порядок здесь оказывается важен: пара $a_i, b_k$ и $b_k, a_i$ — это совсем не одно и то же. Разве что-то мешает нам представить множество возможных значений переменной (аргумента) $x$ как $X$ ? Аналогичное можно сделать и со множеством значений функции $y$ , назвав такое новое множество $Y$ .

Тогда все возможные точки будут записываться как $X \times Y = (x_i, y_i)$ .

Наше рассмотрение будет касаться преимущественно функций в $\mathbb R$ , но что такое это самое $\mathbb R$ ? В смысле, вы же помните, что мы с лёгкостью привязали элементы множества $\mathbb N$ к точкам на числовой прямой? Так давайте сделаем то же самое и с $\mathbb R$ !

Учитывая, что наша координатная плоскость образована целыми двумя числовыми осями, то у нас будет два $\mathbb R$ , совершенно друг с другом одинаковых. Правда, одну из осей мы положим горизонтально, а вторую расположим к первой под прямым углом.

Координаты, как мы уже говорили, отождествляются с конкретными точками на плоскости. К счастью, парой абзацев выше мы уже указали способ указать все такие точки в принципе: нужно лишь умножить одно множество $\mathbb R$ , отождествляемое с числовой осью, на другое. Но т.к. наши множества совпадают, то получаем $\mathbb R \times \mathbb R={\mathbb R}^2$ . Именно так в учебниках обозначается “действительная” или “вещественная” плоскость, с которой мы и начнём рассмотрение. Но это только потому, что у нас всё в порядке с самоконтролем, в противном случае мы бы могли не сказать себе “стоп” во время умножения, в итоге иметь дело с каким-то ${\mathbb R}^5$ и даже ${\mathbb R}^n$ .

Итак, график это множество точек, т.е. числовых пар, которые имеют прямое отношение к функции. Пары эти задаются следующим образом — один элемент есть значение независимой переменной, а второй — результат отображения этой переменной по заданному правилу $f$ . Если этих значений набирается достаточно, мы можем взять и объединить их отдельным рисунком. Это ровным счётом ничего не добавит к их внутренней взаимосвязи, но грандиозно упростит восприятие. Более того, сам рисунок вполне может быть достаточно грубым и упрощённым, но всё равно послужит делу понимания.

Теория может жить только примерами, поэтому к ним и переходим. Перво-наперво проверим, что за дела нас ждут с обычной прямой. Да, самая примитивная прямая это вам не ерунда какая-то, а могущественный инструмент познания. Нарисуем её, да подлиннее:

Прямые линии нам приходилось видеть и раньше, но именно благодаря наложению на координатную плоскость у нас появилась возможность формализовать ряд особенностей. Начнём с того, что у каждой прямой, существующей где-то кроме нашего воображения, есть такая важная характеристика, как наклон (slope). Он определяется отношением высоты (rise) к пробегу (run), которые это самая прямая преодолела к какому-то значению. Не очень понятно? Тогда внимание на экран:

Фиолетовым цветом отмечена точка, которую нам захотелось использовать для измерения наклона прямой (мы могли выбрать любую другую, главное тут зафиксировать, откуда отправляемся). Допустим, мы начинаем путь из начала координат, т.е. точки $(0,0)$ , что изменится, когда мы, скользя вдоль прямой, окажемся в точке $(3,2)$ ? Высота, т.е. значение $y$ , равно $2$ , в то время как значение пробега, т.е. $x$ , равно $3$ . Получается, наш наклон равен $\frac{y}{x}=\frac23$ . Что это даёт?

Внимательный читатель (а других тут нет и не будет) уже заметил, что речь про наклон почему-то идёт в контексте отношения высоты к пробегу. Почему просто не указать наклон как угол, который образует прямая с той же осью $x$ ? Это сделать можно, да и таким придётся не раз заниматься. Тем не менее, сам угол нам моментально не скажет, как соотносится $y$ с $x$ , а для вычислений это очень даже пригодится.

Во-первых, возможность полностью разобраться со всей прямой, ведь её наклон в любой точке обязан быть одним и тем же. Наше $\frac23$ означает, что на каждые $3$ единицы увеличения независимой переменной $x$ значение функции увеличивается только на $2$ единицы. Иначе говоря, $y=\frac23 x$ . Если бы этот наклон для всей прямой не был постоянным, то мы бы имели дело и не с прямой вовсе. Для примера давайте представим, что в точке $0$ этот наклон вдруг меняется на $\frac{2.2}{3}$ , т.е. $y$ увеличивается с $2$ до $2.2$ , посмотрите, что происходит с самой прямой:

Как видно, в результате увеличения $y$ на $0.2$ сама прямая стала сильнее стремиться к этой самой оси $y$ . Давайте заново проговорим вроде бы очевидное свойство: наклон у прямой линии всегда одинаков. В приложении мы упомянем о доказательстве, используя несколько простых фактов из геометрии, пока же это надо закрепить в сознании. Именно потому, что наклон всегда одинаков, мы и можем говорить о “линейной”, т.е. постоянной зависимости, “равномерном” движении и тому подобное.

Ох, тут и не понять, когда случайно все эти “линейные зависимости” наружу выплывут! Я вот когда на вечеринку хочу к подружкам успеть, всегда перед этим в кафе забегаю, какой-нибудь стейк из сёмги скушать — неприлично же в гостях много на тарелку накладывать. И сразу считаю, что иду я потом с постоянной скоростью, ну не хочется мне со всеми ускорениями и замедлениями кошмар разводить. А ведь если подумать, то получается, что я с линейной функцией работаю, когда всё такое прикидываю.

Понятие наклона приводит нас к уравнению (или просто формуле) прямой: $y=kx+b$ . Наш $y$ тут, как и раньше, это значение функции, а $x$ — всё та же независимая переменная. Коэффициент $k$ , стоящий перед $x$ , это как раз и есть наклон (ещё он называется “угловой коэффициент”). Но что в таком случае $b$ ? А вот $b$ это “свободный элемент”, или “свободный член”, который показывает, насколько у прямой есть “параллельная поправка” для итоговых значений $y$ . Свободным он называется именно потому, что никак не привязан к переменной $x$ , его значение не меняется по мере подстановки на место $x$ всяких несуразностей. Рассмотрим несколько примеров, взяв произвольные значения для $k$ и $b$ .

Если $b=0$ , то имеем дело с уже ставшей родной линией без всяких сюрпризов:

Если $b>0$ , то все точки линии послушно съезжают на $b$ вверх (мы взяли b=5, оставив оригинальную линию без изменений):

Ну а если $b<0$ , то все точки уезжают на $b$ вниз (заметьте, что тут мы ещё и $k$ поменяли, просто чтобы не скучать):

Спешим заметить, что несмотря на свой сиротливый вид, элемент $b$ крайне важен. Именно благодаря ему мы можем взять любую прямую, например, $y=\frac23 x$ , и создать бесконечное количество её параллельных копий, заполнив всю плоскость без малейшего исключения.

По ходу дела мы совсем забыли сказать о том, как построили сами прямые, да и вообще о том, как строить графики в принципе.

Как правило, набор точек, по которым строится график, считается и записывается при помощи таблицы:

$\begin{tabular}{ | l | c | r |} \hline \textbf{x} & 1 & 2 \\ \hline \textbf{y} & -1 & 2 \\ \hline \end{tabular}$

Здесь мы опирались на последнюю функцию $y=3x-4$ . Если $x=1$ , то $y=3\cdot 1-4=-1$ . Если $x=2$ , то $y=3\cdot 2 -4 =2$ . Двух точек для построения прямой вполне достаточно (или одной точки и коэффициента наклона), поэтому наша работа здесь завершена.

Крайне важно понимать, что пальчики так уверенно чертят линию по одной простой причине — мы абсолютно уверены, что во всех пройденных точках самая функция (и, значит, её график) нормально существует. Не перейди мы заблаговременно от $\mathbb Q$ к $\mathbb R$ , такое было бы невозможно. Да и вообще, функции, которые не везде существуют, это не такое уж редкое явление, так что ямам, разрывам и прочим изъянам российского дорожного покрытия вполне находится место и в идеальном мире предельных абстракций.

В очередной раз подчеркнём, что свободный член $b$ нам нужен не только для “параллельных” целей, он позволяет судить о местах, в которых наша прямая пересекает числовые оси. Пересечение случается там, где $x=0$ (тогда пересекается ось $y$ , ведь она проходит через нулевую точку горизонтальной оси), либо где $y=0$ (тогда, соответственно, пересекается уже ось $x$ ). В нашем последнем случае $y=3x-4$ если $x=0$ , то $y=4$ , а сам $y=0$ только когда $x=\frac43$ .

Этим открытия не ограничиваются. Имея перед руками (и глазами) не только картинку, но конкретную формулу, мы можем ответить сразу на множество вопросов касательно поведения функции. Допустим, нам нужно знать, проходит она через какую-то точку или нет, как это сделать? Проще простого — надо просто подставить координаты точки и посмотреть, сходится ли всё в нашей формуле, т.е. принадлежит эта точка графику (повторяем, график — это множество точек) функции или нет.

Скажем, что можно сказать про точку $a$ с координатами $(3,4)$ ? Подставляем их в функцию $y=3x-4$ : если $x=3$ , то $y=3\cdot 3 -4 =5$ , следовательно, такая точка в нашу функцию не входит, а вот точка $b$ с координатами $(3,5)$ — очень даже входит.

А что, если графиков у нас несколько? Как узнать место, в котором они пересекаются? С этим всё по-прежнему ясно: что такое пересечение графиков? Т.к. мы по-прежнему ведём речь о множествах, то можно сказать, что пересечение случается, если какие-то точки входят как в одно, так и в другое множество, т.е. когда разные функции дают один и тот же результат в плане работы с переменными. Иными словами, нужно просто приравнять формулы для функций и посмотреть, к какому выводу это приведёт:

Уравниваем $3x-4$ и $\frac23x+5$ , после чего решаем простое уравнение:

$\begin{gather*} 3x-4=\frac23x+5 \\ \\ 3x-\frac23x=4+5 \\ \\ \frac73x=9 \\ \\ x=9 : \frac73 \\ \\ x= \frac{27}{7} \\ \\ x=3\frac67\ \end{gather*}$

Подставляем получившийся $x$ в одно из уравнений по вкусу, например, в $y=3x-4$ :

$\begin{gather*} y=3\cdot 3\frac67 -4 \\ \\ y= \frac{81}{7}-\frac{28}{7} \\ \\ y= \frac{53}{7} \\ \\ y=7\frac47 \end{gather*}$

При взгляде на график видно, что именно в этой точке (которую невооружённым глазом определить не так просто) графики и пересекаются на самом деле.

Впрочем, линии ведь могут и не пересекаться в случае параллельности:

Тогда попытка решения подобного уравнения ничего внятного дать не должна:

$\begin{gather*} 3x+4=3x-\frac45 \\ x+\frac43=x-\frac{4}{15} \\ \end{gather*}$

Мы разделили обе стороны уравнения на $3$ лишь чтобы обнаружить явную бессмыслицу: никакое число в случае прибавления (или вычитания, что то же самое, но с другим знаком) к нему разных чисел не может остаться неизменным. Значит, такого $x$ просто не существует, как и точек пересечения указанных линий. Ну и да, учитывая, что угловые коэффициенты в обоих уравнениях одинаковые, к такому заключению можно было прийти и пораньше.

Чтобы понимать в математике, надо развивать математическую интуицию. Не переживайте, с многострадальной “женской интуицией” это ничего общего не имеет. Тренироваться следует исключительно в ощущении “ага, я, кажется, понял, к чему это ведёт…”. Хорошим триггером для такой интуиции является фраза “никогда не”, после чего рассказывается, чего никогда не бывает. Совсем как с “для параллельных прямых не существует точек пересечения”. Запомните наперёд и расскажите друзьям, что математикам (как и некоторым политикам) доверять не стоит. Ведь как только они говорят, что чего-то никогда не происходит, спустя какое-то время оказывается, что при определённых условиях это всё-таки возможно.

Все уравнения, где зависимости и прочее выражаются по форме $y=kx+b$ , называются “линейными”. Почему? Потому что их графиком являются обычные прямые линии. Вопреки наивному убеждению, что это, наверное, очень простые и бесполезные уравнения, их реальный потенциал огромен. Миллиарды долларов дополнительной прибыли, тысячи тонн сэкономленного сырья и энергии, эффективная организация рок-концертов и поддержание работы социальных сетей — всё это становится возможно именно благодаря использованию самых примитивных прямых линий.

Но грош цена была бы всему этому, имей мы доступ только к линиям. На деле у нас есть возможность строить совершенно любые графики, какие только захотим. В частности, важное место занимают графики степенных (вы ещё не забыли, что такое степени?) функций. Классическим примером является функция $x^2$ . Составим для неё таблицу значений:

$\begin{tabular}{ | l | c | c | c | c | c | c | c |} \hline \textbf{x} & 0 & -3 & -2 & 2 & 3\\ \hline \textbf{y} & 0 & 9 & 4 & 4 & 9\\ \hline \end{tabular}$

Теперь построим сам график:

В принципе неплохо, но есть ощущение, что можно и посимпатичнее. Давайте увеличим количество точек до $20$ и посмотрим, как это отразится на красоте:

Другое дело, даже как-то гладенько стало. Но резкие повороты всё ещё видны. Решим вопрос радикально, умножив количество точек до $100$ :

Совсем хорошо! Только что мы построили график, известный как “парабола”. Почему “парабола”? Да просто название такое. График интересен тем, что не просто показывает, как для человеческого разума выглядит функция $x^2$ . По нему можно без проблем найти и корни соответствующего уравнения. Задумайтесь: корни уравнения это такие значения $x$ , при которых уравнение становится равенством. Учитывая, что чаще всего квадратные уравнения записываются в виде $x^2=0$ , нам всего лишь следует найти места, в которых $y=0$ . На приведённом графике всё просто, $y=0$ там же, где и $x=0$ . Построим что-нибудь похитрее:

В силу построения сразу видно, что корни уравнения $2x^2+3x-7=0$ примерно равны один с чем-то и минус два с чем-то. Найдём их точнее, решив уравнение через дискриминант (не зря же мы его выводили):

$\begin{gather*} 2x^2+3x-7=0 \\ \\ x^2+\frac32x-\frac72=0 \\ \\ D=(\frac32)^2-4\cdot (-\frac72)=\frac94+\frac{28}{2}=\frac{9+56}{4}=16\frac14\\ \\ x_{1,2}=\frac{-\frac32\pm \sqrt{D}}{2} \\ \\ x_1=\frac{-\frac32+\sqrt{16\frac14}}{2}=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{16\frac14}}{2}\\ \\ x_2=\frac{-\frac32-\sqrt{16\frac14}}{2}=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{16\frac14}}{2} \end{gather*}$

Так как $\frac34$ это примерно единица, а $\sqrt{16\frac14}$ это примерно 4, то и конечные значения $x$ оказываются примерно равны примерно единице и минус двойке с чем- то (на самом деле $1.3$ и $-2.8$ ). Собственно, мы это по графику сразу и сказали.

Однако с такой же лёгкостью мы можем заметить, что корней среди известных нам чисел для уравнения вообще нет. Это в том случае, если график вообще нигде не пересекает ось $y$ , то есть значение выражения не обращается в ноль:

Парабола, кстати, бывает и кубической, когда имеем дело со степенью $3$ , в таком случае вид её станет слегка экзотичнее:

Чувствуем, что вы успели утомиться. Мы, кстати, тоже, поэтому будем со своим изложением закругляться. Остальные примеры и уточнения вас, как и всегда, ждут в приложении. На данный момент важно, чтобы вы усвоили одну из главных идей, которую только и может передать один человек другому посредством текста: функции бывают разными и ведут себя тоже по-разному. Чтобы ответить как именно, необходимо присмотреться к особенностям самой функции, а ещё лучше изучить её график (если такой можно построить).

Слегка позже вы и сами удивитесь тому, какие небывалые выводы можно сделать из самых базовых предпосылок, или же вообще крошечных огрызков полноценного графика.

Гни свою линию

Leave a reply Отменить ответ