Вечно ходим по кругу

Всевозможные картиночки, да ещё и связанные с конкретными формулами, вновь настраивают нас на хороший, приветливый лад. Смотришь, бывает, на рисунок и сразу понимаешь, что к чему и почему, как будто и нет всех этих символов, проклятых операций и ненавистных всему человеческому правил записи. Но раз уж мы вновь говорим о рисунках, то почему не поговорить и об одном из самых известных, если не просто-напросто легендарном? Речь, конечно, идёт о круге.

Изображения чего-то круглого (в том числе и того, о чём вы сразу подумали) встречаются, пожалуй, у всех минимально развитых культур во всех участках планеты. Греки вот вообще считали круги и прочие шары идеальными формами, населяющими такие же идеальные миры. Связано это было с тем, что… Да шутим, шутим, ни в какие философские экскурсы мы вдаваться не торопимся.

При всей безусловной простоте, круги далеко не так примитивны, как кажется. Да и ценность их далеко не в собственной безупречности, а в том, как хорошо и ненавязчиво они выступают инструментами для понимания других, более причудливых концепций. Например, хотя для этого бы сгодилась любая другая фигура, но именно благодаря кружочкам мы смогли неплохо так уяснить теорию множеств. Кто знает, сколько других интеллектуальных жемчужин для нас откроют круги, если их хорошенько об этом попросить?

При первой встрече о подобном спрашивать не очень вежливо, поэтому, как водится, зайдём издалека. Поговорим о границах. Не о границах с Украиной или какой-нибудь Мексикой, нет, о границах вообще. Что такое граница? Банальный ответ состоит в том, что это некоторый участок, где одно переходит в другое. Например, в случае того же круга, да и прочих геометрических фигур, граница это своеобразный контур, то место, где кончается фигура и начинается вся остальная бесполезная плоскость.

На данной картинке вы ясно можете видеть все границы, так как мы их специально выделили синеньким:

Что можно про границу сказать? К примеру, она вообще хоть существует, у неё какие-то размеры есть? Вопрос с существованием кажется издевательским — ведь если бы границ не существовало, то мы бы не могли не то что различать фигуры, но и даже приготовить себе куриных блинчиков. Если так, то какова толщина границы, ну т.е. толщина всей этой синей линии? Не спешите прикладывать линейку к дисплеям (на этот счёт мы вас уже предупреждали), мы же говорим не о конкретной, “натуральной” границе, а о границе математической.

В чём изюминка? Она в том, что наш вопрос относится к границе идеальной, а не реальной. Если вам кажется, что в этом нет разницы, то вы ещё не достаточно хорошо уяснили, с чем имеете дело. Математика изучает только мысль, а не действительность. Другое дело, что приложение этих мыслей к действительности даёт ошеломительные результаты, но описание на основе любых моделей никогда не является абсолютно точным.

 

 

Неравенство математических объектов и реальных, физических объектов, которыми они вдохновлены, приводит к серьёзному замыканию сознания у многих обывателей. К примеру, человеку с улицы очень сложно объяснить, как некоторые замкнутые фигуры могут иметь бесконечную длину. Или почему из одного шара, разобрав и склеив, можно получить два ровно таких же. Человек с улицы за такое и ударить может! Поверьте моему опыту…

 

Так вот, математическая граница в принципе не имеет фиксированной толщины, но тем не менее существует. А математическая точка, между прочим, не имеет вообще никаких размеров, но всё так же упрямо существует. Отчего не дать бедной границе иметь маленькую, хотя бы крошечную толщину, чисто ради галочки? Давайте посмотрим на иллюстрацию:

 

В случае справа толщина весьма заметна, а слева — не очень. Допустим, нам нужно найти площади обеих фигур, то есть узнать, сколько места на плоскости они занимают. В случае с правой фигурой не очень понятно, как это сделать. Нужно или искать площадь всего сразу, вместе с границей, а потом вычитать площадь границы, либо заранее признать её толщину нулевой. С первой, куда меньшей границей, сделать следует то же самое, хотя всё равно вычитать что-то понадобится. Чтобы сэкономить себе время, лучше сразу принять толщину несуществующей.

Да и потом, вспомните, что в нашей практике плоскость обозначается как , это приводит к различным последствиям, вроде наличия координат. Где именно начинается граница? В точке ? Может, в точке ? Ну или ? Как ни уменьшай толщину границы, а на расчёты она всё равно влиять будет. Какие расчёты? Например, нахождение длины этой самой границы. Да-да, вы не ослышались, у математической границы нет толщины, но есть длина. Не пытайтесь представить себе реальные аналоги, целостность вашего сознания нам ещё пригодится.

 

Хм… А какие тут проблемы? Граница не обязана иметь какую-то толщину только потому, что мы её положили на плоскость. Вот возьмём числовую прямую, с помощью которой изучали сложение. Есть ли у неё толщина? Её нету, ведь двигаться по ней мы могли только вправо или влево, а “вверх” или “вниз” просто не существовало как возможных направлений. Положив одномерную фигуру на плоскость и как-то её покалечив, мы вовсе не добавляем новых измерений. Не знаю, вы же нарисовав квадрат на листе бумаги не ожидаете, что у него появится объём только потому, что сам лист бумаги находится в трёхмерном пространстве? Эй, вы меня вообще ещё слушаете?!

 

 

На бытовом примере высказанную идею может понять любой дачник, да и вообще человек, который оказывался вынужден строить какую угодно ограду. Без помощи измерительных инструментов посчитать примерную протяжённость ограды достаточно просто: можно ходить вдоль, запоминая число шагов, а уж на основе этого примерное количество и материала для конструкций заказать. Обошли вы свой участок, получилось, что сделали шагов, записали всё это в блокнотик, высчитав среднюю длину шага. Но ведь саму толщину этой границы-измерения, проще говоря, шага, вы вообще не рассматривали. Значит, для вас она фактически и не существовала!

Надеемся, к данному моменту уже понятно, что мы не можем представить себе фигуры без её границы…но можно ли представить границу отдельно от самого “внутреннего содержания” фигуры? Оказывается, что очень даже можно:

 

Для чего вообще нужны такие упражнения? Если нашей целью является, скажем, измерение общей длины этой границы, то что там у неё внутри нас совершенно не интересует. Кстати, суммарная длина границы любой фигуры называется “периметр”, и с ней проблем возникает куда меньше, чем с площадью, которой мы занимались в предыдущей статье. В большинстве случаев мы просто берём и механически складываем стороны (т.е. участки границы) фигуры друг с другом:

Для квадрата периметр будет , для треугольника , ну и так далее, ведь сложение сторон, как и обычных чисел, труда не представляет. Или представляет? Пример с квадратом, положим, нас не ошарашит, а что делать, если сторон не просто много, а очень, очень много? Речь, как вы догадались (догадливые вы наши!), наконец-то пошла о всяких кругах. Точнее, даже не о кругах, а об окружностях:

Слева находится круг — видите, какое у него розовенькое нутро? А вот справа можно заметить исключительно окружность саму по себе, то есть чистую границу этого круга. Перед этим как искать периметр окружности, давайте подумаем, а с чем мы в принципе имеем дело. Интуитивно описать что-то круглое мы можем только через противоположные примеры. Квадрат вот совсем не круглый, потому что у него прямые углы. Пятиугольник? Ну, там углов побольше, но они уже чуть менее заметные, хотя всё равно не то. В общем, чем меньше бросающихся в глаза углов, тем ближе к нам нечто круглое. А как это круглое изобразить?

Тут понадобится помощь нашего старого знакомого — прямоугольного треугольника. Давайте зафиксируем его одной вершиной в центре с названием , а гипотенузой станет отрезок . Если нам очень захочется, то мы сможем зафиксировать одну из сторон (например, гипотенузу ) и посмотреть, как меняются остальные катеты, когда сама смотрит в разные стороны:

Делая это много, очень много, бесконечное число раз, мы получим… окружность с центром в точке . Все полученные путём построения целой тьмы треугольников точки (на самом конце гипотенузы) будут отстоять от ровно на одно и то же расстояние, равное . Иначе говоря, игры с треугольниками незаметно привели нас к традиционной окружности.

Даже больше того — мы получили её уравнение. Серьёзно, уравнение окружности ничем не отличается от добытой в интеллектуальных боях формулы соотношения сторон прямоугольного треугольника. Заметим, что это одновременно и характеристика всех построенных треугольников с фиксированной гипотенузой , и способ получить окружность. Если вам не очень понятно, почему это так, то перечитайте последние несколько абзацев.

Уточним, что , т.е. расстояние, на которое все точки отстоят от центра , называется “радиусом окружности”. С ним соотносится понятие “диаметра окружности”, которое означает прямую линию от одной точки окружности до другой, проходящую через центр. Так как любой радиус можно достроить до диаметра, продлив этот самый радиус в противоположную сторону, то диаметр всегда равен двум радиусам, т.е. .

Хорошо, а как эту самую окружность на предмет длины всё же исследовать? Конечно, можно просто ходить по самой границе и считать шаги, или обернуть её нитью из пряжи, но должны же быть более гуманные способы? Только вот какие именно, пока что не ясно, ведь конкретных сторон, которые можно было бы сложить, в окружности нет, нету вообще каких-то прямых линий, как и прочих знакомых вещей. А без них мы ничего найти так и не сможем.

Если само по себе никакого веселья не выйдет, то давайте себе ни в чём не отказывать. Чуть выше мы заметили, что естественной противоположностью “круглого” является “угловатое”, причём это вовсе не жёсткие противоположности. Треугольник и, к примеру, восьмиугольник — это всё фигуры с углами, только если первый вообще не похож на окружность, то второй — заметно ближе. Увеличивая число углов (а также их величину в градусах), мы постепенно получаем всё более и большее близкую к окружности фигуру, вы только посмотрите на эти попытки:

Сколько бы наш многоугольник круглее ни делали, настоящей окружностью он так и не станет (как и большинство посетителей “бизнес-тренингов” никогда не построят работающий бизнес), ведь к ней он приближается изнутри, а значит, всегда чего-то будет недоставать. Решить это можно достаточно просто — построить ещё один многоугольник, но изначально больше окружности, а дальше множить его углы точно так же. Ведь если что-то больше нашего искомого числа, а что-то меньше, то значит, само искомое расположилось примерно посередине:

 

 

Во, правильно же! Я по работе всегда так говорю. Бывает, что мнутся сразу назвать, сколько по итогу заплатят. Ну я и спрашиваю “чего, тыщ заплатишь?” — он такой говорит “нет, много слишком”. А я такой потом “э-э-э, в смысле? рублей хочешь дать чтоли?” — и он “ну нет, побольше, конечно”. Вот так полчасика поговорим и к реальной сумме приходим.

 

 

На математическом языке первый, внутренний многоугольник будет называться вписанным в окружность (inscribed), а внешний — описанным около окружности (circumscribed), хотя это название трудно считать удачным. В обоих случаях предполагается, что либо вершины многоугольника лежат на окружности, либо его стороны в каких-то точках этой самой окружности касаются.

Итак, теперь всё можно посчитать! Давайте будем искать длину нашей окружности, начав со вписанного многоугольника и смотреть, как она меняется по мере увеличения числа углов и, соответственно, сторон. Рассматриваем мы вполне конкретный случай, поэтому уточним, что в радиус окружности будет равен единице (идёт речь о сантиметрах или чём-то ещё, нам не так важно). Поехали!

Попытки запечатлеть несколько накладывающихся друг на друга фигур очень изматывают, ведь в итоге всё равно выходит неразборчивая мазня. Вот вам поэтому два примера, в обоих вписанный многоугольник имеет сторон, а описанный — сначала , а затем и вовсе :

Периметр вписанных многоугольников (по мере увеличения числа сторон\углов ):

Периметр описанных многоугольников (по мере увеличения числа сторон\углов ):

Указанные выше расчёты позволяют сделать несколько заключений. Во-первых, вручную рисовать многоугольники это очень, очень неприятно, остаётся лишь посочувствовать бедным математикам прошлого, на чью долю выпал этот тяжкий крест. Во-вторых, в случае обоих многоугольников основная точность была достигнута уже в случае с сторонам, их дальнейшее увеличение в с чем-то раза улучшило наш результат очень и очень слабо (хорошо, что это хоть рисовать не пришлось), на сотые доли.

Для своего времени достаточно неплохо с этой задачей до конца (ну, почти) справился Архимед, рассмотревший аж два многоугольника по сторон в каждом. Кроме примерного трудолюбия и терпения Архимед обладал ещё и завидной наблюдательностью. В том плане, что если любая геометрическая фигура является таковой только пока сохраняются некоторые пропорции при её построении, то должна быть пропорция и для окружности, которую он и нашёл. Для этого Архимед всего лишь поделил периметр окружности на её диаметр (т.е. двойной радиус), и оказалось, что это соотношение постоянно.

В нашем случае уже можно заметить, что при делении периметра обоих стоугольников () пополам получается примерно . Эта постоянная является одной из важнейших во всей математике и называется числом Пи. Из уважения для него отведена (правда, только в 18-м веке) специальная буква:

   

Значок переводится как “приблизительно равно”, ну а под и понимаются длина и диаметр окружности, запомнить это можно, вспомнив, как выглядят панели управления в старых (да и не очень старых) электроплитах и стиральных машинах. Ведь сама ручка, за которую вы берётесь, чтобы повернуть переключатель, как раз и является диаметром окружности:

И да, “приблизительно равно” мы сказали не случайно. Дело в том, что точное значение указать невозможно, что было известно (хотя и не так хорошо, как нам) тому же Архимеду, определившему число знаменитой дробью  .

Самые любопытные из вас наверняка уже подумали “а почему это нельзя определить число полностью… неужели оно иррациональное?” и, конечно же, оказались правы. Число , помимо прочего, действительно является иррациональным, а значит, его невозможно записать конечным образом. К слову, известно это стало тоже во второй половине опять-таки 18-го века. Само доказательство будет рассмотрено с патологической подробностью, но несколько позже.

 

Вычисление наиболее полного значения числа является своеобразным соревнованием среди любителей вычислительной математики. Создание компьютеров во второй половине 20-го века сделало эту кошмарную гонку куда более интересной, в итоге на данный момент значение известно более чем до нескольких десятков триллионов знаков после запятой. Зачем вообще нужна такая детальность, учитывая, что для абсолютно всех практических целей хватит точности порядка сотни разрядов? Во славу науки, конечно!

 

Радоваться этому или печалиться, но нахождением длины заборов вокруг земельных угодий и прочих территорий контакт с окружностями не ограничивается. Особенно в математике, где с каждым новым эпизодом уже заученные по сотне раз понятия предстают с совершенно неожиданной стороны. Станет ли окружность исключением из правила? Своё мнение можете сообщить в платном sms на короткий номер, подробности уточняйте у оператора.