Тройной удар

Сырная шаурма с двойной зеленью, пьяная прогулка по ночному городу, романтические сцены с бывшей соседкой или выяснения отношений на школьном дворике. Знаете, что объединяет эти вещи? Это очень простые явления, в чём и состоит изрядная часть их обаяния. Тем не менее, крайне часто люди зачем-то их искусственно усложняют — порой настолько, что не остаётся вообще никакого удовольствия. И если фраза “мне побольше кинзы” для повара  в ларьке не всегда оказывается руководством к действию, то представляете, каких дел можно наделать с математикой? Вот они и делают, пользуясь тем, что некому призвать к ответу.

Впрочем, часть вины лежит и на самой математике, а точнее, на том, как построена учебная программа. Сама её структура иной раз предполагаем как можно большее число всевозможных заучиваний, повторений, прочих мазохистских сюжетов. Безусловным лидером в этом марафоне самоистязания является тригонометрия. Кто знает, в скольких слёзах, истериках и глухой злобе она повинна?

Тригонометрия (по-английски просто trig) это как беспощадно строгий начальник, не допускающий никаких опозданий, отговорок и тому подобное. Или…впрочем, хватит аналогий. При всём ореоле мрачного величия, сама тригонометрия является чуть ли не самой простой областью математики, с которой неизбежно познакомится всякий включённый в систему школьного образования. Более того, для успешного понимания этой области достаточно смириться всего лишь с двумя, опять таки, крайне доступными идеями, к которым мы сейчас и перейдём.

Ещё не успели расстаться с прямоугольным треугольником, говоря про окружности, а уже пора его вновь потревожить. Итак, соберитесь, сейчас будет первая идея. Посмотрите вот на что:

Это прямоугольный треугольник, стороны которого помечены разными буквами, правильно? Можно даже сказать, что это какие-то числа, ведь измерять стороны нам пока никакие законы Яровой не запрещают. А что можно делать с числами? Ну… типа там складывать, вычитать, умножать, да? А что ещё? Так, кто там тянет руку? Правильно! Их ещё можно друг на друга делить, за догадку победителю предоставляется двойная порция компота во время обеда.

Мы можем поделить на , или на , а то и вовсе на . Удивительно, согласны? Давайте даже выпишем все возможные варианты деления, а то мало ли, вдруг тут секрет какой притаился:

   

Вроде ничего подозрительного… так когда будет первая важная идея? А это она, собственно говоря, и есть: стороны треугольника можно делить друг на друга. Этим мудрость и правда ограничивается, мы тут скрытыми камерами розыгрышей не снимаем. Можем даже сказать иначе: стороны треугольника могут находиться друг к другу в каких-то отношениях. Так как треугольник это геометрическая фигура, то вроде как понятно, что отношения эти будут не произвольными, а чем-то предопределёнными.

Короче говоря, каждое из этих отношений можно обвести в рамочку и дать ему специальное название. Зачем? Да чтобы было каждый раз понятно, о чём именно речь. Хотя так и быть, упростим себе задачу: разобьём все возможные отношения в пачки по штуки в каждой:

   

   

   

Странные буквенные последовательности и прочие означают, соответственно, функции под названием “синус”, “косинус”, “тангенс”, “котангенс”, “секанс”, “косеканс”. Не надо пытаться понять, почему все они называются именно так — если какой-то смысл в их именовании и был, то сейчас он уже не играет никакой роли. Единственное, что можно из этого вынести — если вы видите приставку “ко”, то значит, речь идёт о дополнительной функции. Дополнительная функция — это почти то же самое, что и основная, но всё-таки слегка иначе. Совсем как “синус” и “ко-синус”. Не очень понятно? Ничего, на практике сразу будет ясно.

 

 

Тригонометрия — значит, с треугольниками что-то делают, со сторонами его. А что со сторонами делать-то можно? Ну, вот поделить их можно, так ведь? Они и делят, а то как именно делить (т.е. какую сторону на какую), “функцией” называют. Пусть так. Мне треугольники не сильно интересны, но мало ли какие у людей бывают увлечения.

 

Видно, что в каждом наборе, упомянутом выше, у нас по две дроби. При этом каждая дробь, как, опять же, указано, может быть либо одной, либо другой функцией. Например, у нас есть , т.е. синус, как понять, это или ?  Для простого ответа на этот вопрос давайте опять посмотрим на наш треугольник. Кроме трёх сторон у него ожидаемо имеется и три угла. Один из  них прямой, а остальные два давайте пометим греческими буквами и :

Тогда уже указанные функции мы можем определить как функции от угла. Например, , в то время как . Почему именно так? А потому, что у всех тригонометрических функций есть словесные формулировки. Звучат они следующим образом (названия катетов берём из нашего треугольника):

Синус, т.е. — это отношение противолежащего к углу катета к гипотенузе .

Косинус, т.е. — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе .

Тангенс, т.е. — отношение противолежащего к углу катета к прилежащему катету .

Котангенс, т.е. — отношение прилежащего к углу катета к противолежащему  катету .

Секанс, т.е. — отношение гипотенузы к катету , прилежащему к углу .

Косеканс, т.е. — отношение гипотенузы к катету , противолежащему к углу .

Теперь понятно, что , как и гласит наша запись. Да и вообще куча вещей прояснилась, как-будто по щелчку пальцев.

 

Случаем, не смутились, читая про “функцию от угла”? А то непривычно такое слышать, ведь до сих пор мы упоминали только про функции от переменных. Но давайте вспомним, что любая функция — это отображение, т.е. сопоставление какому-то одному элементу какого-то другого по определённому правилу. Можем ли мы сопоставить любому углу какую-то дробь? Ясное дело, что можем, значит, и причин бояться называть весь этот процесс “нахождением значения функции” и “функцией от угла” у нас никаких нет.

 

 

Закрепим пройденное: любые тригонометрические функции это просто отношения одной стороны треугольника к другой. Какую именно сторону выбрать зависит от угла, для которого мы значение этой функции ищем. Всего дробей, которые являются или той, или иной тригонометрической функцией. Здесь же нет ничего предельно трудного для понимания, никаких секретов? Кстати, секанс и косеканс в основном курсе почти никогда не изучаются, мы их добавили просто чтобы показать, что деление любой одной стороны треугольника на любую другую — это тригонометрическая функция. Вся тригонометрия это в буквальном смысле “измерение треугольников”, поэтому такой вывод не должен казаться удивительным.

Хорошо, с этим мы, наверное, разобрались. Было что-то неприятное? Конечно — выбирать то один угол, то другой, всё таки не слишком удобно. Куда проще всё бы пошло, будь у нас возможность рассматривать функции только от одного угла. То есть, выдали нам такой треугольник:

В нём нужно найти . Не мучаем себя вычислениями, а просто рисуем новый треугольник с таким расчётом, чтобы угол, исходящий из начальной точки , был равен , и дальше уже всё вычисляем:

Дело исключительно в удобстве, никаких иных причин вертеть почтенными фигурами у нас нет. Хм… несколько прямоугольных треугольников, исходящих из одной точки… где-то мы такое уже видели. Где же? А в самой последней статье, когда говорили про окружность, давайте это вспомним:

Там мы рисовали треугольники с фиксированной гипотенузой равной и внятной целью: найти уравнение окружности. Но и для рассмотрения тригонометрии этому найдётся место. Смотрите, возьмём самый базовый треугольник и найдём, чему в нём равны те или иные функции:

Что такое ? По определению это отношение противолежащего к углу катета к гипотенузе . Чему у нас равна дробь ? Так как гипотенузу мы специально выбрали равной одному, то . Синус угла превратился просто в значение отрезка , т.е. в высоту точки , в которой гипотенуза касается нашей окружности. Ещё раз заметим: окружность у нас единичного радиуса, то есть специально подобранная. Но сам вывод верен для всех треугольников вообще: синус это высота, это доля, процент, который катет составляет от гипотенузы.

Значит, чем больше оказывается наша высота, тем и больше значение синуса:

А что если в очередной раз пойти на экстрим и предположить, что наш рассматриваемый угол рано или поздно становится совершенно прямым? В таком случае, конечно, треугольник наш схлопнется и перестанет быть треугольником, ведь в треугольнике сумма углов должна быть равна , а у нас уже два угла прямых, т. е. ни на какой третий места не останется. Ценой схлопывания треугольника мы получаем высоту (только при ней второй катет, отвечающий за ширину, исчезает окончательно). Чему тогда равен синус? Вроде как .

Такая же логика работает и в случае рассмотрения угла в . Учитывая, что никакой высоты у нас нет вообще, т.е. она нулевая, то .

Покажем эти два предельных случая разным цветом, но стоит очень внимательно отнестись к тому, что это совершенно противоположные варианты схлопывания. Вообще, когда мы берём фигуру и так её деформируем, что она уже сама на себя не похожа, в математике говорят, что она “вырождается” во что-то. Ну, совсем как российская демократия. В нашем случае треугольники при постоянном увеличении одной стороны вырождаются в прямые:

Итак, мы уже установили предельные абсолютные значения для функции синуса: он не может быть меньше нуля или больше единицы. Посмотрим, работает ли эта картина для остальных тригонометрических жемчужин. Будем рассматривать косинус. Что это такое:

Заметьте, что , т.е. косинус это просто ширина нашего треугольника, равная длине отрезка . Что случится с косинусом, вздумай мы вновь начать уродовать беспомощную фигуру? В предельной точке для угла ширина вообще исчезает, т.е. . А вот для ситуация ровно противоположная, высоты у нас там нет, зато всё её место занимает ширина: .

 

Опять кружки на выручку пришли — недаром всё-таки они мне так нравятся! Запоминать все эти синусы, углы, как они меняются и т.п. совсем не хочется. А тут как бы и вообще не нужно — нарисовал кружок и понятно, что к чему. Так, надо постараться не забыть: синус это высота, а косинус это ширина… буду каждое утро повторять, пока душ принимаю.

 

 

 

Благодаря приставке “ко” мы видим, что и синус, и косинус нехило так связаны между собой, и если растёт одно, то уменьшается другое. Разумеется, они могут быть и равны друг другу. В каком случае? Ответим на это, применив мощнейший алгебраический арсенал приёмов и решив следующее уравнение:

   

Потрясающе, правда? Синус и косинус равны только тогда, когда катеты прямоугольного треугольника равны между собой. А какие это значения? Теорема Пифагора в очередной раз говорит, что . В случае, если , а этосименно наш случай, получается:

   

Глядя на то, как меняются длины отрезков и , можно предположить, что равны они оказываются только при каком-то среднем значении угла, не дающим перевеса в пользу одной или другой стороны. А какое у нас значение среднее между и ? Конечно, это , значение синуса и косинуса которых мы только что и обнаружили.

Высота, ширина… как-то просто это всё. Отчего тогда столько горя и зубовного скрежета? Почему внушительные массы людей в принципе люто ненавидят тригонометрию? Вероятно, потому, что хотя все основные идеи и крайне просты, есть небольшие хитрости, не зная которых, сложно решить все задания правильным путём, а сами хитрости можно понять в результате полного, бескомпромиссного освоения главных идей.

К примеру, визуально, при помощи круга определять синус и косинус мы научились. А что делать с тангенсом? Отношение одного катета к другому… ни один из катетов у нас не фиксирован на конкретном значении, тем более на единице, что же делать?

Повторим необходимое замечание, которые мы и так постоянно делаем. Все геометрические фигуры подобны друг другу (вспомните, как мы приводили схожее рассуждение для прямой линии, когда говорили о её наклоне). То есть, если в них сохраняются какие-то постоянные пропорции независимо от размера самой фигуры.

Допустим, у нас есть несколько прямоугольные треугольники различного размера, но углы в них окажутся взаимно равны:

 

Так как углы одинаковы, то и отношения сторон друг к другу будут одинаковыми для обоих треугольников. Исходя именно из этого факта мы и выбрали гипотенузу равной единице, чтобы не утомлять себя лишними расчётами, которые всё равно приведут к одним и тем же результатам.

Но в случае тангенса единичная гипотенуза нам уже не поможет, ведь тангенс это отношение катетов. Поэтому… просто примем один из катетов равным единице. По определению . В знаменателе стоит , на единицу делить куда удобнее, поэтому мы единичным и сделаем. Правда, в таком случае треугольник выйдет за пределы окружности, но нас это уже не должно беспокоить. Фактически мы просто проводим ещё одну вертикальную ось через точку и уже на её основе достраиваем все интересующие треугольники до новых, в которых всегда равен :

Достроили? Если всегда равен , то всегда равна . Значит, наш тангенс, как и ранее синус, опять равен просто высоте, но уже не отрезку , а его высокому оранжевому собрату. Другое дело, что новый отрезок теперь не должен быть ограничен единицей, его длина может быть и намного больше (ведь один катет треугольника может быть сильно больше другого, особенно в предельных случаях).

Кстати, а что ещё следует из того, что мы фиксировали на значении ? Давайте посмотрим на наш список функций… так так так… у нас же есть ещё и в знаменателе для секанса! И правда, . Чему будет равен секанс, если мы по-прежнему считаем, что ? Судя по всему, он будет равен , т.е. просто длине гипотенузы.

Заключительная часть сегодняшней драмы будет заключаться в графическом изображении смысла котангенса и косеканса. Как видно из нашего списка, котангенс это отношение противолежащего к углу катета  к прилежащему катету . Уже догадались, что мы будем делать дальше? Правильно, мы будем приравнивать к единице, чтобы вновь получить удобную формулу для наших расчётов.

Итак, фиксируем и посмотрим, что у нас получается. Ожидаемо, когда равен единице, , т.е. просто ширине нашего треугольника. Это схоже с определением косинуса, с той лишь разницей, что для косинуса мы строим треугольник с единичной гипотенузой, а для котангенса — с единичным катетом . Этим откровения не исчерпываются, давайте посмотри на гипотенузу . Если мы разделим её на , то вновь получим , а это как раз есть определение косеканса, ведь .

Попробуем разместить всё усвоенное на одном рисунке, чтобы в дальнейшем использовать его как удобную (и очень симпатичную) шпаргалку:

Сегодняшнее изложение можно считать оконченным. Напомним, что оно было посвящено первой идее, лежащей в основе тригонометрии — стороны треугольника можно без проблем делить друг на друга. Мы таким делением и занимались, но применили к рассмотрению свойство подобия — для каждого случая строили именно такой треугольник, который для нас удобнее, чтобы снова и снова испытывать экстаз от деления на единицу.

Если всё сказанное выше не вызывает решительного интеллектуального протеста, до встречи в следующем материале, где мы узнаем, что углы это не всегда то, за что мы привыкли их принимать.