Оно вертится!

Совсем немного прошло с тех пор, как оказался повержен грозный титан — первая идея тригонометрии, касающаяся отношения сторон треугольника друг к другу. Совершенно не понятные до того мутные функции внезапно предстали в своём чистом, непорочном виде. Наверное, засады стоит ждать именно со стороны второй идеи? В конце концов, настолько простой, как деление катетов и гипотенуз, она быть просто не может. Или..?

…или мы её уже давно прошли, сами о том не подозревая. Давайте вспомним материал, в котором мы только начинали знакомиться с геометрическими фигурами, в том числе с углом. Тогда мы упомянули, что его можно задать по-разному, но мы выбрали для себя привычные градусы. Настало время сказать подробнее про эти другие, пока что немыслимые подходы и определения.

Отвлечёмся от треугольников и представим, что у нас есть просто угол (назовём его ), образованный двумя отрезками, лежащими внутри окружности. Как можно его однозначно определить? То есть так, чтобы ни с чем точно не спутать? Конечно, описав угол в градусах — не может быть такого, чтобы одному углу соответствовало несколько вариантов сочленения отрезков с одинаковым значением градусов. А можно ли придумать что-то кроме этого?

Посмотрим на рисунок внимательнее. Мы видим, что отрезки исходят из единого центра (т.е. из центра окружности) и продолжаются до тех пор, пока не касаются самой окружности в каких-то точках. Можно ли что-то сказать про сегмент окружности, который они (отрезки) ограничивают?

 

Минуточку, давайте всё-таки выражаться правильно, мы же тут в приличном месте, как-никак! Все эти “сегменты окружности”  меня лишний раз заставили перенервничать. Правильно это называется “дуга”. Что такое “дуга”? Это участок окружности, ограниченный двумя не совпадающими друг с другом точками. Точки эти, конечно, лежат на этой же окружности. Точно так, как любую линию мы можем разбить на множество отрезков, любую окружность мы можем разбить на множество дуг. В конце концов, любую окружность мы можем разрезать и выпрямить, получив ту самую линию.

 

 

Давайте начнём с малого, сказав, что наш сегмент… то есть, дуга, в принципе существует, если угол не нулевой — отметим эту симпатягу розовым цветом. Далее, мы можем даже измерить её длину (про длину окружности в целом мы говорили совсем недавно). Мыслима ли ситуация, в которой дуге одной и той же длины соответствуют разные варианты расположения отрезков, исходящих из центра, т.е. разные углы? Нет, такой ситуации быть не может, ведь как только мы начинаем двигать отрезки относительно друг друга, искомое расстояние мгновенно меняется:

Это всё приводит нас ко второй, завершающей идее тригонометрического цикла — угол, исходящий из центра окружности, может быть определён через длину дуги, которая отсекается его сторонами.

Поясним на примере. Вот вы пошли на стадион бегать, исполненные надежды прийти в форму за 2-3 месяца перед летними каникулами и начать постить свои фото в трендовых ЗОЖ пабликах. Представим, что дорожка стадиона, по которой вы бегаете, имеет форму окружности, а в центре стоит ваш приятель, с которым вы поспорили на тройной чизбургер, что осилите хотя бы несколько кругов. Начинается забег — вы с трудом, но перемещаетесь из начальной точки в точку , после чего проклинаете всё на свете и соглашаетесь купить бургер, лишь бы прекратить истязание.

Какую дистанцию вы преодолели? Можно сказать, что эта дистанция описывается углом в, например, , это совершенно правильно. Но если нас интересует именно суммарная протяжённость проделанного пути? В таком случае можно заметить, что она равна половине всей длины беговой дорожки в целом (например, метров). Утверждения совершенно равнозначные, никак друг другу не противоречащие.

Получается, что угол даже в бытовых ситуациях можно измерить двумя способами — традиционно, градусами, как мы уже делали, и расстоянием дуги, как мы ещё не делали. Последнее называется “радианной мерой угла”, хотя проще было бы говорить “угол как расстояние”.

Почему в названии есть какая-то “радианная” мера, да и вообще “радианы”? А это всё от слова “радиус” происходит, ведь наши отрезки, которыми сформирован угол, идут из центра окружности до каких-то её точек. Значит, являются просто радиусами. Если в случае с градусами наш единичный угол равен , то угол в радиан будет таким, в котором длина дуги окажется равна длине радиуса. Конечно, переводя в градусы, это получается приличный размер, но ничто не мешает дробить его как угодно.

К счастью, длину всей окружности мы измерять научились, даже установили важную формулу , определяющую отношение длины всей окружности к её диаметру. Заменим диаметр на два радиуса (как дань сложившейся традиции), получаем . Это длина всей окружности, полного оборота, который соответствует . Как найти точку, которая соответствует уже упомянутым ? Видимо, следует просто поделить общую длину пополам, получив . Если наша окружность опять построена так, что радиус равен единице (мы же не просто так это условие ввели), тогда половина окружности просто равна , что мы и отметим.

Идём дальше. Чему равна половина от этой половины? Она равна , что соответствует . А если ещё половину сделать? Тогда придём к , или . При должном трудолюбии не составит труда указать аналог в радианах для вообще всех углов, но перед нами такой задачи не стоит, ограничимся лишь несколькими:

Тест на внимание — заметили, что по мере увеличения углов мы движемся против часовой стрелки? Это потому что так принято — надо же хоть куда-то двигались. По такого движения мы проходим четверти окружности (отсекаемые углами в ), которые называются первой, второй, третьей и  — приготовьтесь, сейчас самое неожиданное — четвёртой четвертями тригонометрической окружности.

 

 

Радианы какие-то, градусы… Так и запутаться можно… Что такое ? Сразу и не скажешь!  но я тут запомнил, что . А раз так, то . Очень помогает, от души советую, пользуйтесь таким, чтобы на зачёте в осадок не выпасть, родителей не опозорить.

 

 

 

Теперь всевозможные обозначения вроде и не должны вызывать никакого смущения. Впрочем, окончательно со смущением мы расправимся, когда установим ясный метод перевода радиан в градусы и обратно. На роль подопытного выберем угол в . Сколько это будет в градусах? Мы этого пока не знаем, но мы точно знаем, что это является какой-то частью от , т.е. от целой окружности. Дальше — больше, это также является и частью от , а именно, мы умножаем на . Но градусы ведь ничем не хуже, если , то .

В обратную сторону это тоже работает. Лежит перед нами угол в , сколько это в радианах? Давайте узнаем, какую долю это составляет от , просто взяв и поделив одно на другое. Итак, . Значит, радианной мерой угла будет .

Посмотрите, как мы разошлись! Пока напор не спал, давайте подумаем, что случится с нашими ребятами, когда они перейдут психологическую отметку в . Изначально тригонометрические функции мы вывели именно из прямоугольного треугольника, но как в таком треугольнике отдельный угол может быть больше прямого, который уже фиксирован? Узнаем это для синуса, допустим, .

В предыдущей статье мы уже упомянули, что синус это всего-навсего высота, т.е. отношение противолежащего катета к гипотенузе-радиусу (которую мы специально сделали единичной). Раз это так, то мы спокойно можем нарисовать новый треугольник, лежащий в другой четверти, с которым уже и разбираться. Войдя в другую четверть, мы вовсе не обязаны в ней оставаться, поэтому давайте переформулируем проблему в терминах уже привычных (и почти родных) треугольников из первой четверти.

Закрепим ещё раз — синус в нашем случае это высота. Если это и правда высота, то есть, расстояние от горизонтальной оси, проходящей через центр окружности, до чего-то повыше, то это самое расстояние оказывается одинаковым сразу в нескольких точках окружности:

Теперь отвечаем себе на вопрос — что такое угол с точки зрения нашего нового, второго по счёту фрагмента круга? Для этого надо просто узнать, какой угол составляет наша гипотенуза с горизонтальной осью. Так как развёрнутый угол равен (или просто ), то нашему углу не достаёт до него градусов. Следовательно, . В очередной раз что-то менее понятное мы свели к более понятному, избежав ненужных опасностей и волнений.

Нет ли у вас ощущения какой-то незаконченности? В самом деле, было установлено, что , но чему всё это равно численно? Узнать нам это поможет всё тот же треугольник. Точнее, не совсем тот же… В общем, смотрите сюда:

Здесь мы изобразили равносторонний треугольник, все углы которого равны , а все стороны которого равны . Почему именно ? Так нас же при выборе длины сторон ничего не ограничивает, захотели и сделали. Хотя ладно, признаемся, что и здесь нашлось место умыслу.

Будем искать , т.е. . Все тригонометрические функции мы строили в особом типе треугольника — прямоугольном. Поэтому немедленно его себе сделаем, проведя соответствующую высоту:

Для поиска конкретных значений синусов, косинусов и прочего нам осталось узнать длины всех сторон. Однако большую часть мы знаем и так! Смотрите, гипотенуза наша равна просто по условию построения фигуры. Далее, в равностороннем треугольнике высота, проведённая к основанию, обладает двумя интересными свойствами. Во-первых, она делит сам угол при высоте пополам (значит, ). Во-вторых, само основание она тоже делит пополам. Значит, в нашем треугольнике “нижний” катет равен половине двойки, т.е. . Имея это в виду, мы и условились сделать изначальную длину равной двум, чтобы с дробями не мучиться.

А чему равна высота? Примем её за . По теореме Пифагора нам известно, что , т.е. . Отсюда следует, что . Заметьте, что мы перед знаком корня добавили значок “плюс”. Корни чётной степени (в частности, квадратные корни) интересны тем, что дают сразу несколько значений — положительное и отрицательное. Но мы же ищем длину стороны, а длина это что-то положительное по умолчанию — вот этот факт мы отразили, указав, что отрицательные значения нам не важны.

Теперь легко видеть, что , ну а . Чтобы дважды не вставать, посчитаем и тангенс, . Наиболее любознательные читатели на основе нашей иллюстрации могут найти значения этих же функций для угла в качестве самостоятельного упражнения.

В качестве завершающего этюда можно попробовать рассмотреть ситуацию с синусом в третьей четверти, например, узнать . Таким же образом строим треугольник, затем проверяем, какой угол образуется между гипотенузой и горизонтальной осью: . Учитывая, что синус это высота, то мы в качестве ответа просто и указываем значение этой высоты… которая внезапно отрицательна. И что же делать?

Следует радоваться, потому что мы нашли интересное противоречие, о котором упоминают не так часто. Для работы с треугольниками нам почти всегда требуется полагаться на теорему Пифагора, утверждающую, что , откуда . Вообще, именно этой формулой на плоскости и определяется любое расстояние между двумя точками. Любое, даже отрицательно число, возведённое в квадрат, оказывается положительным. Сумма положительных чисел, ясное дело, всегда положительна.

Только вот корень из положительного числа может быть и отрицательным. Но тут мы применяем ту же логику, которую использовали несколько ранее, рассматривая равносторонний треугольник. Иначе говоря, мы ограничиваем рассмотрение исключительно положительным значением корня. Ведь расстояние по-прежнему не может быть отрицательным.

Получается, что наша гипотенуза будет положительной всегда, независимо от четверти, в которой лежит очередной треугольник. Но для высоты (и ширины) это совершенно не так, нас интересует не только их абсолютный размер, но и направленность. В противном случае, путешествуя по окружности, мы бы столкнулись с тем, что тот же синус даёт одинаковое значение не только для двух, а вообще для четырёх углов — пойди разбери, о каком именно идёт речь.

Хотя и два значения это тоже немало. Опираясь на прежний угол , посмотрим, какие тригонометрические пары-близнецы есть в его случае:

 

Вот поэтому и люблю рисовать! Не надо всякие там формулы запоминать, что когда чему равно и в силу каких обстоятельств. Куда проще — берёшь линеечку и проводишь несколько линий. И как кому-то может нравиться вместо этого насиловать тетрадки столбиками вычислений?

 

 

 

 

 

Почему именно так? Ну, а как вы хотели? Ведь высота у нас оказывается отрицательна везде на промежутке от до . В свою очередь, ширина, т.е. косинус, оказывается отрицательной на промежутке от до . Ну а тангес отрицателен только тогда, когда у ширины и высоты оказываются разные знаки — это выполняется только на промежутке от до и на ещё одном промежутке, от до .

Законспектируем это обстоятельство:

Из всего рассмотренного напрашивается ещё один, на этот раз точно последний вывод: функции время от времени меняют свои значения. Взять вот синус — он то , то , то опять , и так далее. Если приглядеться, то можно заприметить, что возврат к исходному значению происходит не просто так, а через определённое количество пройденного пути — в случае с синусом речь идёт о , ведь пробежав всю окружность и вернувшись в изначальную точку, мы вернёмся и к тому же самому значению синуса.

Идея вроде понятная, только далеко не для всех функций этот путь оказывается одинаков. В частности, и . Значит, для тангенса период в целых два раза короче.

Сам этот путь, спустя который функция приходит к прежним значениям, имеет особое название — “период”, обозначается буквой омега, т.е. . Любая функция, для которой возможно такой период определить(а для тригонометрических — сюрприз-сюрприз — это сделать можно), называется “периодической”.

Обозначим то, что успели узнать: . А в случае с тангенсом .

Сама идея периода не просто изобретательна, а ещё и крайне практична. Просто подумайте, какое количество процессов, начиная от движения колеса и кончая… хм…. движением кое-чего другого, остро нуждается в строгом математическом описании.

Впрочем, если вашей специальностью не является инженерное дело и всякая прочая физика, то заниматься подобным вам не придётся. А вот упрощать, сокращать и переиначивать формулы, изобилующие тригонометрическими выражениями, понадобится уже в школе. И несколькими картинками, даже самыми хипстерскими, здесь делу не помочь Подмоги, как всегда, стоит ждать от наших следующих публикаций.