Тревожный раскол

Если по каким-то причинам вы всё же решили изучить предыдущую, факультативную публикацию, то давайте потратим ещё пару мгновений и насладимся красотой представленных в ней решений. Не меньший пиетет вызывают и сопровождающие иллюстрации. Чего стоит хотя бы следующее произведение графического искусства:

Ах, эти стрелочки и точки! Но погодите… Мы же разделили отрезок пополам, поставив отметку между четвёркой и пятёркой. Однако как мы это сделали, ведь известные нам числа вовсе не позволяют найти какой-то промежуток между и , они непременным образом строго следуют друг за другом? Ну вот, мы ещё не отошли от гордости за создание множества , но настала пора проявить к собственному детищу испепеляющий критицизм. Целые числа всем хороши, ведь их можно складывать, умножать и вычитать. А вот делить-то их, как мы с прискорбием обнаружили, можно далеко не всегда.

Как преодолеть это препятствие? Начать стоит с гордого отказа от изначальной идеи единого и неделимого, то самой единицы, порождающей всё остальное. Теперь ничто не избегнет участи быть разделённым, даже самые мельчайшие попавшиеся под руку частицы, из промежутка между любыми числами на нас будет смотреть пугающая бесконечность.

Для начала рассмотрим  это  на маленьком участке числовой оси от до .

Как видно, мы без труда показали, что единица может состоять из двух половинок, каждая из которых сама по себе меньше этой единицы. Но зачем останавливаться на самом начале? Схожее может быть сказано и относительно составляющих частей:

И даже относительно :

При желании частей может быть сколь угодно много. Отметим, что каждую отдельную часть мы выше обозначали точкой, будь то или половина, или четверть, или вовсе десятая. Как назвать все эти частички грамотным образом? Следует перейти к новому множеству рациональных (от слова ratio, т.е. отношение, ничего интеллектуального тут нет) чисел, обозначаемых . Ожидаемо, они станут расширением множества , ещё раз увеличив то количество элементов, с которыми мы будем иметь дело, прибегая к числам вообще:

Подчеркнём: “рациональные” это далеко не лучшее именование с точки зрения русского языка. Корректнее было бы называть их “относительными”, имея в виду именно отношение, ну или хотя бы “дробными”, так как это название чётко передаёт смысл — дробление чего-то на части.

Итак, рациональное число это есть отношение какого-то целого числа к какому-то целому числу , т.е. деление , которое записывается как . Нижняя часть называется “знаменателем” (denominator) и показывает, на сколько вообще частей мы разделили наш единый объект. К примеру, в последней иллюстрации таких частей у нас было , т.е. имеем . Верхняя же часть называется “числитель” (numerator) и призвана показать, сколько всего частей от общего количества мы решили взять. Как всегда, поясним на примере:

Заметно, что мы не обязаны брать части чисел только с начала или только с конца, для нас важен абсолютный размер. А что ещё для нас важно, это оставшиеся в далёком прошлом упражнения с разложением натуральных чисел. Помните, что любое число можно представить как произведение простых? Если ответили утвердительно, то пронаблюдайте, к чему это приводит в случае , которая превращается в . Замечаете, что как и сверху, и снизу присутствует один и тот же множитель в виде двойки? Давайте от него избавляться. На каких основаниях? А на таких, что умножение на одно и то же число никак не меняет самой пропорции, в которой одно число относится к другому. Это легко увидеть на примере, сравнив и число, полученное умножением знаменателя и числителя на ту же двойку, то есть .

Процесс, подобный превращению в называется “упрощение дроби”. Вам лучше запомнить это выражение, так как в стандартном курсе математики заниматься чем-то подобным нужно будет очень, очень, очень много. Зачем? Ну… потому что из этого в принципе и состоит школьный курс математики. Если картинки вас не убедили в том, что упрощение это корректная процедура, то подумайте о житейской аналоге. Можно о том, как вы вечерком пошли в любимый бар и вызвали знакомого на соревнование, утверждая, что сможете выпить ровно в два раза больше пива, чем он, при этом, ничуть не опьянев. Независимо от того, осилит он одну кружку, две или даже четыре, вам необходимо будет влить в себя ровно в два раза больше. Отношение выпитого вами к потреблённому приятелем останется одним и тем же несмотря на фактическое число кружек.

 

Так так так… Разговоры о дробях? Вы же не вбили себе в голову, что дробь и рациональное число это одно и то же? Как это? Вбили? Немедленно забудьте! Дробь это отношение одного числа к другому, результат деления одного на другое, понятно? А рациональное число требует пары целых и только целых чисел! Когда ваш преподаватель будет в очередной раз говорить о том, что надо “вспомнить дроби”, немедленно делайте ему замечание и уточняйте, что конкретно имеется в виду.

 

 

Дроби можно не только упрощать. Их ещё можно сознательно усложнять. Например, можно взять и превратить её в . Что для этого нужно сделать? Просто умножить числитель и знаменатель на , т.е. . Усложнение пригодится не реже, чем упрощение, поверьте нашему (болезненному) опыту.

Вероятно, вы уже спросили себя “почему во всех этих странных примерах приводятся такие дроби, где числитель меньше знаменателя, неужели от меня что-то скрывают?”. Этот вопрос имеет под собой почву. Ведь в случае, если числитель оказывается больше знаменателя, мы имеем перед собой “неправильную дробь”. Допустим, вы встретились с , что же с ней делать?

Достаточно немного подумать. Итак, знаменатель говорит нам о том, что некая единица оказалась разделена на равные части, а числитель — о том, что таких частей у нас набралось штук. Иначе говоря, в итоге нам хватит на полноценную единицу, да ещё и запас останется. Тогда необходимо выделить целую часть, для этого мы смотрим, сколько раз знаменатель помещается внутри числителя и что в итоге остаётся. В наш знаменатель умещается только один раз, оставляя довеска. На выходе имеем одну целую единицу и довеска, записывается это следующим образом: , а называется “смешанной дробью”, то есть дробью, в которой присутствует также и целая, специально выделенная часть. Аналогичным образом из любой смешанной дроби можно сделать неправильную — нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить к числителю, т.е. .

Плавно и размеренно мы подходим к пиковой точке сегодняшних переживаний, а именно к тому, как все эти дроби складывать, вычитать, умножать и делить. Ясное дело, что наличие знаменателя усложняет ситуацию, в сравнении с целыми числами.

Сложение и вычитание проистекает из достаточно простой идеи — манипулировать мы можем лишь частями, размер которых нам точно известен. Если вам захочется вычесть из какую-нибудь , то без точных измерительных приборов сделать это будет непросто. Как решить проблему? Весьма просто, достаточно добиться того, чтобы у дробей был одинаковый знаменатель, ведь именно знаменатель нам показывает, на сколько частей разделена та самая единица, которая служит у нас мерой всего. В конце концов, посмотрите на пример с кубиками выше, там же сразу понятно, что .

Чтобы добиться общего знаменателя, достаточно найти наименьшее общее кратное (НОК), с идеей которого вы, конечно же, познакомились в разделе с заданиями, посвящённом простым числам. В любом случае, этой цели можно достигнуть и более варварским способом: просто перемножить знаменатели друг на друга. Но мы знаем, что менять знаменатель, не трогая числитель, не следует. Поэтому делаем всё, как полагается:

   

В этом коротком примере успело произойти столько всего волшебного, что необходимо остановиться поподробнее. Во-первых, каждую из дробей мы умножили, соответственно, на и , которые не только не изменили саму пропорцию, но являются сами по себе обыкновенными единицами (да-да, ). Во-вторых, как только получилось прийти к одинаковому знаменателю, мы объединили обе дроби, оставив все операции в числителе — оно и понятно, ведь знаменатель просто пассивно показывает нам измерительный стандарт, которым мы руководствуемся. Ну и в-третьих, в ответе получили отрицательное число, что уже не должно вызывать удивления — двигаться вправо или влево по числовой оси для рациональных чисел совершенно безразлично.

Захоти мы эти числа сложить, то всё было бы куда проще: . Ещё раз повторим осмысленное правило: для сложения или вычитания дробей необходимо привести их к одинаковому знаменателю, после чего объединить друг с другом, оставив общий знаменатель и совершив все операции в числителе. Совсем в блиц-режиме отметим, что сравнивать между собой можно только дроби с одинаковым знаменателем ровно по той же самой причине.

 

Разные части от разного друг с другом складывать и отнимать нельзя, даже сравнить толком не получится. Вот помню мы с Расулом после тренировки шаурму пошли купить, я себе в сырном лавашике заказал, а он за угол сходил и в армянском ему завернули. Ну постояли, по половине съели, а он говорит давай поменяемся, посмотрим чья вкуснее. Я и поменял, а потом как понял, что его шаурма изначально меньше была, так грустно на душе резко как стало…

 

 

Впрочем, это было слишком просто, время дать разуму столкнуться с действительно стоящим противником. А именно, узнать, как дроби умножать. При умножении дроби на целое число всё вроде бы и так понятно, ведь умножение это всего-лишь компактная запись для сложения, поэтому . Просто берём число и умножаем его на числитель, разве это может составить трудности? А как поступить в случае, если перед нами пример из серии ? Прибавить дробь саму к себе нецелое число раз не так просто (по крайней мере, для этого нужно обладать очень мощным и быстро работающим воображением). Тем не менее, на этом пути можно сделать несколько важных наблюдений.

Как уже говорилось выше, умножение на целое число это просто изящно записанное сложение. Допустим, что нам бы надо было умножить нашу на тройку, тогда , всё понятно. Но как интерпретировать умножение на через сложение? Всмотримся в знаменатель — он говорит нам о том, что некое изначальное число мы делим на равных части, а затем две из этих частей складываем, как нам и говорит двойка в числителе. Следовательно, для выполнения это операции дробь нужно разделить на , а потом один раз сложить друг с другом.

Вновь и вновь поясним всё на примере, показав, что такое вообще эти :

Перед нами оказывается привычная картина дробных частей, причём из всех семи частей, на которые поделена единица, мы задействовали лишь пять. При всей обаятельности, неудобно это всё тем, что мы никак не сможем удобным способом вычленить одну треть, как от нас того требует действие дробного умножения. Линейку к экрану прикладывать только не надо (да и не только к экрану), мы же культурные люди, постараемся найти обходной путь. Нам нужно, чтобы мы могли легко извлечь треть от имеющегося числа, т.е. спокойно поделить числитель на , как этого добиться? Самым прямолинейным и от того безотказным способом будет умножить пятёрку на тройку… тогда-то мы точно сможем разделить полученное. Имея в виду, что перед нами дробь, а её пропорций менять нельзя, мы лихо преобразуем в , получая (вы же не забыли, что это единица?) вожделенные :

 

 

 

Мы если дробь нарисовали, а потом её умножаем, то всё больше частей становится, как только знаменатель растёт. Можем умножать долго-долго, пока в самый удобный вид не приведём. Зачем работать с чем-то, что несимпатично выглядит? Да и к тому лучше побольше рисовать, чем эти формулы ужасные переписывать!

 

 

 

После умножения на мы красным шрифтом обозначили новые отметки, соответствующие дополнительным частям, на которые мы разделили нашу единицу. Можно видеть, что каждый сегмент теперь разделился на три равных части, что и разумно, ведь мы увеличили знаменатель в три раза. Но если мы всё увеличивали исключительно для упрощения задачи по делению, то…

…то получается, что это деление теперь осуществляется без всяких проблем, стоит только выделить отрезки размером в . Потрясающе, не правда ли? Для получения финального ответа складываем обе трети, получая . Это было захватывающее приключение, чего и говорить. Давайте напомним себе его основные шаги.

Сначала мы взяли два множителя, и . Затем мы умножили вторую дробь на , получив , из которой затем извлекли треть, и уже эту треть увеличили в два раза. Ещё раз, но более вдумчиво: мы получили дробь , а потом нашли её треть, иными словами, умножили на , как подробно описывали несколькими абзацами ранее. Затем полученный результат умножили ещё и на два, то есть . Но мы помним, что умножение совершенно нечувствительно к порядку, в котором мы группируем множители, поэтому можем сначала умножить треть на двойку, получив , а уже её в итоге умножить на всю дробь:

   

Что тут у нас? А у нас тут внезапный вывод о том, что вовсе не обязательно вообще что-то делать с изначальными дробями, можно просто умножать их напрямую. Совершенно наглядным и не оставляющим (ведь так? ведь правда??) вопросов образом мы показали, что правило для умножения дробей имеет следующий вид:

   

Остался последний, решительный рывок, после которого можно будет считать, что мастерством арифметики дробей мы овладели почти в совершенстве. А именно, необходимо понять как и по каким законам дроби друг на друга делятся. Воспользуемся всё тем же примером, . Для лучшего усвоения нарисуем… впрочем, гори в аду все эти рисунки — прорвёмся через дебри, используя самые суровые формулы! Запишем всё это как дробь (ведь любое деление это по сути дробь и отношение, даже если делятся между собой сами дроби), а дальше начнём упрощать, умножая на единицу, представленную разным способом, чтобы сократить противные глазу знаменатели:

   

Если вырезать всё лишнее, то как мы получили итоговый ответ? Числитель у нас появился благодаря умножению на знаменатель второй дроби, то есть на , а знаменатель в решении стал результатом умножения на… числитель второй дроби, то есть . Всё это позволяет нам заключить, что деление двух дробей есть ни что иное, как переворачивание одной из дробей, а затем их умножение между собой. Это если вам, как и любому нормальному человеку, хочется пропустить чудовищно скучный процесс поочерёдного взаимного сокращения в знаменателях и числителях.

   

Готовы биться об заклад, что о “переворачивании” вы слышали и раньше, только вряд ли представляли, что оно является следствием нескольких не таких уж и затейливых упрощений.

Ну так что, теперь-то можно рваться к новым главам, не грозящим ввести в летаргию во время прочтения?

Ещё один моментик!

Зачастую дроби могут быть представлены не только при помощи горизонтальной палочки типа , существует и более удобная форма, называемая десятичной дробью. Почему десятичной? Потому, что она явно указывает — мы имеем дело со знаменателем, равным десяти. К примеру, это “пять десятых”, то есть . Так как десятичные дроби уже приведены к одинаковому знаменателю, их можно без проблем складывать между собой. Очередной пример: . Правда же, это было намного проще?

Впрочем, десятичная дробь может иметь знаменатель, и не равный , главное, чтобы он на по-человечески делился. Таким образом, и так далее. Поверьте, логику, заложенную в правилах подобной записи, вы поймёте уже очень, очень скоро.

Ну а пока можете сделать перерыв, как никак, отныне на вас из зеркала каждый раз будет смотреть человек, умеющий переворачивать дроби!