По мере изложения минувших статей (взять хотя бы совсем свежую) нам всё чаще и чаще встречаются ситуации, где один элемент умножается сам на себя несколько раз. Не то чтобы мы были против, пока дело не выходит за рамки a\cdot a\cdot a это ещё терпеть можно, но как со всем этим справляться, если таких умножений будут десятки и даже сотни? Неужели ленивые математики никак не упростили себе жизнь на этот случай? Конечно же, упростили, введя понятие степени. Выглядит всё это следующим образом:

    \[a^n\]

В этом примере a называется основанием (base), а n — показателем степени (power). Сама же изображённая процедура зовётся возведением в степень (exponentiation). Показатель степени всего лишь указывает, что мы собираемся число умножать само на себя. К примеру, a\cdot a=a^2, \, a\cdot a\cdot a =a^3 и так далее. Как мы помним, a\cdot a мы привыкли называть квадратом числа, что находит отражение и в быту, правда обычно говорится “пять в квадрате”, что не совсем  точно, правильнее было бы “квадрат пяти”. Тем не менее, смысл даже не очень точного выражения очевиден, это 5\cdot 5=5^2=25.

Согласитесь, что такой способ записи сильно экономит и без того дефицитное время. Именно из-за соображений экономии куда удобнее выполнять действия с уже этой, краткой записью, чем каждый раз всё по правилам раскладывать. Вспомните прошлую статью — если бы мы не решили использовать супер-сумму \sum , то страдали бы от мучительных вычислений до сих пор.

Как и любые операции, возведение в степень подчиняется ряду несложных правил, справедливость которых мы сейчас и будем устанавливать.

Для начала оттолкнёмся от простого. Если у нас уже есть число a^x в какой-то степени и мы умножаем его на изначальное число a, то степень просто возрастает на один, т.е. a^3 \cdot a= a^4. Здесь вроде всё ясно, первый множитель показывает, что число уже умножили само на себя два раза, а второй лишь просит заняться умножением ещё разочек.

 

Вообще, смысл показателя степени только один — показать, сколько множителей должно быть в выражении. Допустим, мы заметили 5^3, это значит, что всё заменяется выражением 5 \cdot 5 \cdot 5, где ровно 3 множителя. Будем бдительны: хотя множителя 3, само умножение выполняется только 2 раза, потому что это операция бинарная, а по парам 5 \cdot 5 \cdot 5 перемножить как раз за 2 шага и получится. Когда нибудь про то, как формировать такие пары для любого количества объектов мы поговорим подробнее, но это будет совсем другая история.

 

 

А если надо умножить a^2 \cdot a^3? Не будем путаться, разложим это на (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a)=a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a=a^5. Но полученная пятёрка, стоящая в степени, это всего лишь сумма показателей степеней изначальных чисел. Запишем важный факт:

    \[a^m \cdot a^n=a^{m+n}\]

Отдельно подчеркнём, что это верно, только если умножаем числа с одинаковым основанием, в противном случае сказать наперёд, что там получится, мы не можем. Представьте себе квадрат со стороной в 3 и квадрат со стороной 174, чему равна их общая площадь? Быстро сказать ничего внятного не выйдет.

Кстати, тройку в примере выше мы упомянули не просто так. Дело в том, что a^3 называется “а в кубе”. Подразумевается, что a^3 как раз даёт объём куба со стороной a. Объёмными фигурами мы пока не занимались, поэтому достаточно будет уяснить, что степени 2 и 3 находятся в исключительном положении, так как всегда, когда о них заходят речь, возможно подобрать геометрическую иллюстрацию. Со степенями 5, 6 и даже 10 сделать подобное (по крайней мере, очень сильно не расширив сознание каким-то из способов) не выйдет.

Хорошо, если при умножении мы степени складываем, то что мы делаем при делении? Допустим, если надо разделить те же a^5 на a^3? Давайте запишем это в виде дроби: \frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a \cdot a}=a^2. Так как при умножении мы можем без всяких проблем сокращать одинаковые множители в числителе и знаменателе, то мы это с радостью (и, возможно, некоторой жестокостью) и делаем. Соответственно, в числителе у нас сохранятся все те множители, которые не удалось сожрать знаменателю. Так как a^5 даёт на две штуки больше множителей, чем a^3, то ровно эти a\cdot a=a^2 у нас и остались. Получается, мы просто вычли степени! Это следует зафиксировать:

    \[a^m : a^n=a^{m-n}\]

Даже странно, что пока всё идёт так плавно, должны же нас где-то наконец догнать неразрешимые проблемы? Наверное, должны, не будем от них бежать и начнём усложнять вопросы. Что, например, нужно делать при возведении степени в степень? Допустим, (2^3)^2?

В этот раз не обойтись без иллюстрации. Вытянем 2^3=8 вдоль оси, разложив кубики в длину, и на основе этого отрезка построим квадрат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Получилось славно. Вот только если мы вновь намерены прийти к элегантному решению, в очередной раз надо подумать, как выразить одно (то есть, большой квадрат) через другое (маленькие квадраты). Посмотрим, не начать ли в этой славной задаче с 2^2:

Rendered by QuickLaTeX.com

Хм… ну можно, конечно, хотя на столько частей всё делить… Не, слишком лень. Давайте обратимся к квадрату 4^2, образованному отрезком в 4 единицы:

Rendered by QuickLaTeX.com

Другое дело! Так как двигаясь и вправо, и вверх, мы имеем дело с числами, которые являются степенями двойки, то нет ничего удивительного в этом, что раз эти самые числа равны друг другу и получены одним и тем же путём, то они удобно друг на друга делятся.

 

 

Вот за что люблю умножение — чем больше всего перемножается, тем больше возможностей всё зарисовать, пораскладывать, цветами всякими повыделять. Совсем как с конструктором в детстве! Ну, или как с сумочкой — там тоже важно всё строго-настрого по отделениям раскидать, а то никаких карманчиков не хватит…

 

 

 

В случае 4^2 прямо-таки заметно, что таких квадратов у нас в большом, изначальном квадрате ровно 4 штуки, давайте их дополнительно выделим:

Rendered by QuickLaTeX.com

Считаем площадь большого квадрата, равную (2^3)^2, а если точнее, то выражаем её через площадь маленьких квадратов. Получаем 4^2+4^2+4^2+4^2=4\cdot 4^2=4^3. В свою очередь, 4^3=(2^2)^3=2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2, но так как мы уже показали, что следует делать при умножении с одинаковым основанием, мы можем заключить, что 2^2 \cdot 2^2\cdot 2^2=2^{2+2+2}=2^6. Результат впечатляет.

Диво-дивное, мы не просто смогли разложить (2^3)^2 на что-то ещё, а заодно и показали, что (2^3)^2=(2^2)^3. Получается, что в таких задачах ответ не зависит от того, меняем мы местам степени всей “скобки” и начального множителя или нет. О чём это говорит? О том, что при возведении степени в степень мы имеем дело с умножением показателей степеней друг на друга. Убедимся в этом ещё раз, но теперь для более общего случая:

    \[(a^b)^c=\underbrace{a^b \cdot a^b \cdot a^b \cdot a^b \cdot \ldots \cdot a^b}_c=a^{\overbrace{b + b+b+ \ldots + b}^c}=a^{bc}\]

Ох, знали бы вы сейчас, сколько ещё раз нам придёт на подмогу это старательно сформулированное свойство! А всего-то и следовало заметить, что если мы не будем лениться и распишем все формулы подробно, то останется лишь обнаружить, чему равно сложение элементов b друг с другом c раз.

Логика раскрытия скобок оказывается удивительно полезной. Например, она не оставляет камня на камне от следующей загадки:

    \[(a\cdot b)^n=\underbrace{(a\cdot b)(a\cdot b)\ldots (a\cdot b)}_n=\underbrace{a\cdot a\cdot a \ldots \cdot a}_n \cdot \underbrace{b\cdot b \cdot b \ldots \cdot b}_n=a^n b^n\]

При этом ничего, кроме раскрытия скобок и того факта, что при умножении нам совершенно не важно, в каком порядке выполнять операцию, не понадобилось. Чувствуете потенциал? А? Чувствуете? Ну, скажите, что чувствуете!

 

 

Вообще отдельно задачи только со степенями делать постоянно смысла и нет. Я про то, что ты если умножение понял, то и так всё посчитаешь, просто долго очень будет. А то как оно выходит — пока маленький ещё, неопытный, пишешь и пишешь эти степени, в итоге вообще перестаёшь связь с умножением видеть. Мелкому вообще голову запудрить ничего стоит.

 

 

Внимательный читатель возразит — ага, знаем мы ваши ободряющие лозунги. С натуральными числами всё тоже казалось просто, а затем вообще выяснилось, что их нормально вычитать нельзя. Стоп…а можно ли вычитать степени? В смысле, что делать, если степень отрицательная, так вообще как может быть?

Рассудим по-порядку.

Вот есть у нас какая-то 2^5, да? Как её получили? Умножили двойку 4 раза на саму себя — скажете вы, и будете совершенно правы. Значит, 2^5=2^4 \cdot 2, верно? Но тогда 2^4=\frac{2^5}{2}. Иначе говоря, когда мы умножаем число на само себя, то степень увеличивается на единицу, а когда делим на само себя, то степень, наоборот, уменьшается на единицу.

Продолжим эту схему: 2^3=2^4:2, \, 2^2=2^3:2, \, 2^1=2^2:2. Мы обнаружили, что любое число в первой степени равно самому себе, ведь 2^1=2^2 :2 =4:2=2.

Наберёмся смелости и шагнём дальше, поделим двойку на саму себя: 2^1:2 =2^0=1. Воу-воу, палехче. Установлен ещё один факт: любое число в нулевой степени равно единице! Почему? Потому что нами было убедительно показано, что возведение в нулевую степень это просто деление числа самого на себя, что всегда  даёт единицу. Зафиксируем (у нас все ходы записаны):

    \[a^0=1\]

Необычно, ничего не скажешь. А хотите ещё больше необычного? Давайте продолжим деление, прямо взяв ту самую двойку. Мы знаем, что 2^0=2^1 :2, но сделаем ещё один шаг, тогда 2^{-1}=2^0:2=\frac12, то есть, мы продолжаем деление на двойку.

Ещё шаг: 2^{-2}=2^{-1}:2=\frac12 :2 =\frac12 \cdot \frac12=\frac14. Ну и для полноты картины ещё один маленький шажочек (но гигантский скачок для всего человечества): 2^{-3}=2{-2}:2=\frac14 \cdot \frac 12=\frac18.

Каждый раз знаменатель увеличивается в два раза, так как у нас двойка, иначе говоря, 2=2^1, 4=2^2, 8=2^3 и так далее. Значит, для нахождения отрицательной степени нужно просто поделить единицу на число в этой (разумеется, положительной) степени:

    \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

 

 

Спокойно читается, никаких переживаний не случилось? А зря! Выше мы записали, что a^0=1 и это якобы верно для любого числа, а вы это покорно проглотили. И как теперь спится по ночам? Ведь если это верно для любого числа тогда 0^0=1, что не может быть верно, потому что… Вообще-то штука в том, что 0^0 и правда равен 1. Что пошло не так, как мы смогли прийти к такому чудовищному выводу? Рассказывать про это долго, но вкратце достаточно заметить — математики подумали и решили, что если они сделают вид, что это так, то в остальных формулах и теоремах будет меньше проблем. Всё ещё думаете, что любая власть будет использована только во благо?

 

Перед глазами маячит финишная прямая, а это значит, что напоследок останется рассмотреть лишь два случая. Покажем, что вся эта магия работает не только с целыми числами. Что делать для дроби в какой-то степени? Терпеливо разлагаем всё на элементы и считаем:

    \[(\frac{a}{b})^n=\underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_n=\frac{\overbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}^n}{\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_n}=\frac{a^n}{b^n}\]

Ну а дробь с отрицательной степенью? Воспользуемся уже выведенным правилом:

    \[(\frac{a}{b})^{-n}=1:(\frac{a}{b})^n=1 \cdot (\frac{b}{a})^n=(\frac{b}{a})^n=\frac{b^n}{a^n}\]

А ведь ещё недавно кто-то сомневался, что умение переворачивать дроби при делении может оказаться не праздной игрой воспалённого разума… В общем, теперь вы официально умеете возводить в степень. Ещё один навык в вашу копилку, ещё один этап на пути превращения в массивного зубра точных наук. И главное — это было совсем не больно, стоило лишь плавно начать, понемножку ускоряясь и прибавляя уверенности.