Неприглядная действительность

Вот уже несколько материалов подряд мы то так, то эдак используем корни: умножаем, складываем, изредка даже вычисляем. Тем не менее, глядя на эти $\sqrt{4}, \sqrt{12}, \sqrt{73}$ и так далее, сложно отделаться от мысли, что далеко не все они одинаково приятны, когда речь заходит о нахождении точного значения. Не просто же так при решении задач тот же самый $\sqrt{73}$ предпочитают не раскрывать без острой необходимости.

Так или иначе, а точное значение нам не помешает — вот и повод задуматься о каком-то удобном методе его поиска. Простой перебор хоть и является возможностью, но для её реализации так или иначе понадобится калькулятор. Ну, а на калькуляторе корень можно найти, нажав всего две кнопочки (если считать кнопку включения).

Перво-наперво давайте вообще подумаем, что нам предстоит искать. Квадратный корень? Ах, “квадратный”, какая прелесть — значит, в той или иной мере наши поиски в очередной раз могут быть симпатично проиллюстрированы. Если необходимо найти $\sqrt{a}$ , то мы будем разыскивать длину сторон квадрата, имеющего площадь $a$ , вот, посмотрите на него, но недолго, а то он стесняется:

Rendered by QuickLaTeX.com

Но чтобы нарисовать квадрат такой площади, нам уже необходимо знать чему равен $\sqrt{a}$ , иначе какой длины у нас будут стороны? К счастью, эта задача не погружает нас в тот холодный и липкий ужас, которого можно было бы ожидать ещё пару недель назад. Да, сторон такого квадрата мы и правда не знаем, ну так давайте начинать с того, что нам известно. А именно, построим не квадрат, а обычный прямоугольник с такой же, как и у квадрата, заданной площадью, например, пусть она будет равна $16$ , надо же на чём-то пояснять:

Rendered by QuickLaTeX.com

Площадь нашего прямоугольника определяется известной формулой $a=xy$ , но что мы можем сказать об этих $x$ и $y$ на данный момент? Да ничего особенного, кроме того что $y=8$ , а $x=2$ (при желании мы можем выбрать любые другие значения, дающие при умножении $16$ ). В дальнейшем рассуждении будем искать именно $\sqrt{16}$ , ведь в случае с любым другим $\sqrt{a}$ все действия будут точно такими же.

Итак, какого точное значение $\sqrt{16}$ , то есть, сторон искомого квадрата? Оно не может быть равно $x$ , т.к. для получения площади $a=16$ сторона $x=8$ умножается на куда меньшую сторону $y=2$ , в этом случае $x^2=8^2$ будет явным перебором..

По аналогичной причине она не может быть равна и $y$ , ведь для получения площади мы его умножаем на куда большее по размеру $x$ , само по себе $y^2=2^2$ — очевидный недобор.

Иными словами, ни один из квадратов, образованных этими сторонами, нам не подходит:

Rendered by QuickLaTeX.com

Масштаб мы, кстати, немного уменьшили, чтобы одну картинку полчаса не скроллить.

Итак, наш заветный корень подпадает под следующие ограничения: $y<\sqrt{a}<x$ , то есть, он меньше, чем $x$ , но точно больше, чем $y$ . В конкретно рассматриваемом случае мы имеем $2<\sqrt{16}<8$ . Раз так, то давайте возьмём какое-то новое число, большее, чем $y=2$ , но меньшее, чем $x=8$ , и посмотрим, подходит ли оно на роль кандидата.

Это приводит нас к следующему вопросу — а как вообще лучше выбирать промежуточные числа?

Конечно, можно воспользоваться хорошо знакомой числовой прямой, тогда будет достаточно просто указать точку, лежащую хоть где-то между двумя другими. Если это значение окажется слишком большим, то смещаться дальше влево, а если слишком маленьким — вправо. Спустя какое-то время требуемый результат неизбежно будет найден.

Единственная проблема с таким подходом — совершенно нельзя предположить, сколько это может занять времени. Ведь если каждый шаг поиска у нас по сути является случайным, то до исхода мы моем добираться очень и очень долго.

К счастью, для выбора промежуточных (или “средних”) значений есть несколько удобных понятий, для текущих целей нам хватит и вовсе одного. А именно — давайте подумаем о надёжном (и не случайном) способе получить число, большее, чем $y=2$ , но меньшее, чем $x=8$ . Вычитания, прибавления и деления на какое-то конкретное значение работают, но лишь отдельном случае, а мы ищем универсальный метод — следовательно, для получения нового числа надо использовать лишь те числа, которые уже даны.

Но кто сказал, что сами числа должны оставаться неизменными? Ничто не мешает разделить их пополам: $2:2=1, 8:2=4$ . Теперь возьмём половину первого числа, т.е. единицу, и спросим себя “а что нужно сделать, чтобы получить число, большее $y=2$ “? Ответ практически вырывается из лёгких — нужно прибавить к нашей единице ещё одно число, большее, чем единица (иначе мы опять получим $2$ ).

Повторим сходное рассуждение, но уже для второго числа, которое нужно уменьшить. Вот мы разделили восьмёрку пополам, берём такую половину, равную $4$ , и размышляем над дальнейшими шагами — нам ведь нужно получить число меньшее, чем $8$ , т.е. второе слагаемое обязано быть меньше $4$ . Но что мешает нам воспользоваться половиной от первого числа, которую мы уже вычислили?

Иначе говоря, сложить обе половины, т.е. определить какое-то новое число $z=\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{8+2}{2}=5$ .

Руководствуясь данной инструкцией, мы теперь можем без проблем получать средние значения для любых числовых пар, совершенно не обращая внимание на всякие обстоятельства. Следует уточнить, что таким способом можно находить не вообще “средние”, а именно “средние арифметические”, благо в математике есть ещё куча всяких средних.

Так это… “среднее арифметическое”, оно же не для двух чисел только работает, оно вообще для всех! Вот есть у тебя там, например, $a_1, a_2 \ldots a_n$ какие-то, ты их вместе складываешь и делишь на количество слагаемых: $\frac{a_1 + a_2 + \ldots +a_n}{n}$ .

Мы с братьями когда в чайхону ходим покушать, так всегда и платим — общий счёт просим и поровну на всех делим. Потому что с братом надо по-справедливости усреднять, какая разница, сегодня ты больше скушал, или он?

Вооружённые свежей методикой, давайте тут же применим её для вычисления искомого корня. Для этого возьмём то самое среднее арифметическое для чисел $x=8$ и $y=2$ , посчитанное нами $z=5$ . Далее построим новый прямоугольник, одной стороной которого и будет наше среднее, а другую мы подберём так, чтобы общая площадь $a=16$ не изменилась. То есть, если одна сторона, например, $x=5$ , то другая, $y$ , будет равна $y=\frac{a}{x}=\frac{16}{5}=3\frac15=3,2$ . Немедленно это отобразим:

Rendered by QuickLaTeX.com

Вроде бы и ближе к тому, что надо, но не до конца. Сторона длиной в $5$ всё ещё является переоценкой нашего корня, ведь $5^2=25$ , а сторона длиной в $3.2$ напротив, слишком маленькая, ведь $3.2^2=10.24$ . Будем продолжать поиски! Прокрутим все фокусы ещё раз, найдём новую сторону, равную $\frac{5+3.2}{2}=\frac{8.2}{2}=4.1$ . Тогда вторая сторона равна $\frac{16}{4.1}=3.9$ . Это даёт нам следующее художество:

Rendered by QuickLaTeX.com

Уже почти квадрат! Но не совсем… Стороны по-прежнему не равны между собой, но нас таким не запугать, ведь мы научились искать средние значения, чем и занимаемся дальше. Новая сторона будет равна $\frac{4.1+3.9}{2}=\frac{8}{2}=4$ , тогда другая сторона будет равна $\frac{16}{4}=4$ , и мы получаем настоящий квадрат! Рисовать его мы, конечно, не будем, сразу раскупорим бутылки с шампанским. Что скажут на это все скептики, не верившие в могущество прямоугольников?

То, что мы сейчас сделали, называется “алгоритмом Герона” или “Вавилонским методом”, суть которого сводится к итерационному (т.е. пошаговому) квадрированию… Если попроще говорить, чтобы вы поняли — мы берём изначальную фигуру (прямоугольник) и пошагово её превращаем в другую фигуру (квадрат). Как только с этим справляемся, то празднуем победу — квадратный корень оказывается найден.

Давайте теперь разберёмся с менее очевидными корнями, в конце концов, мы во всё это ввязались именно ради упрощения их записи. Начнём с $\sqrt{2}$ , так как он самый маленький из натуральных, а бумаги мы и так извели достаточно. Предположим для начала, что этот корень равен… ну не знаем, пусть будет $1.8$ , тогда начинаем идти по списку:

1) Если $x=1.8$ , то $y=\frac{2}{1.8}=1.11111$ — помните, мы говорили, что рациональные числа могут быть представлены как длинные периодические дроби? Вот сейчас такой случай, только для экономии места пи пишем только $5$ знаков после запятой. Ок, ни $1.11111$ , ни $1.8$ не дают при возведении в квадрат двойку (можете сами проверить). Тогда идём дальше, получая новое число: $\frac{1.11111+1.8}{2}=1.45555$

2) Если $x=1.45555$ , то $y=1.37405$ . По-прежнему мы не пришли к чему-то, что давало бы в квадрате двойку. Продолжаем поиск: $\frac{1.45555+1.37405}{2}=1.4148$

3) Если $x=1.4148$ , то $y=1.41362$ , опять неравные числа, ну что ты будешь делать? Хорошо, тогда получается, что новое число… хотя нет, стойте, это и так успело зайти слишком далеко. Давайте проявим хитрость вместе с обаянием и зайдём с чёрного (в хорошем смысле) хода.

Поможем себе, сузив область возможного поиска. Ну, это если у вас нет пары свободных месяцев, чтобы заниматься делением дробей.

При поиске значения $\sqrt2$ мы вообще какой ответ ожидаем получить? Какое-то рациональное число типа $\frac{a}{b}$ такое, что $(\frac{a}{b})^2=2$ , правильно? Если вопросов нет, то займёмся пошаговым размышлением.

Шаг первый

По определению рационального числа $\frac{a}{b}$ мы знаем, что $a$ и $b$ — взаимно простые, т.е. не имеют общих множителей, а если бы имели, мы бы их нещадно сократили. Подчеркнём, речь идёт именно о взаимно простых числах, а не вообще простых, например, $\frac49$ отвечает этому условию, хотя сами по себе $4$ и $9$ простыми числами, конечно, не являются.

Шаг второй

Всмотримся в искомую дробь, да так люто, что ей станет не по себе и она тут же раскроет нам все свои грязные секретики. Так-так-так, $\frac{a}{b}$ , вы явно что-то скрываете?

Перед нами красуется числитель $a$ , чем он знаменит? С большим надрывом и тягостью вспоминаем статью о простых числах — в памяти начинают мелькать пугающие образы. Будучи целым числом, $a$ может быть или простым (значит, у него нет делителей, кроме него самого и единицы), или составным (значит, оно является произведением какого-то числа простых чисел).

В случае упомянутой дроби $\frac49$ числитель, т.е. $4$ , конечно, является составным числом, ведь $4=2 \cdot 2$ . А что для общего случая? Как уже было подмечено, если $a$ простое, то его можно разделить на само себя, т.е. на $a$ , и только. А если $a$ не простое, то его можно представить как $a=p_{a_1} \cdot p_{a_2} \cdot \ldots \cdot p_{a_m}$ , т.е. как произведение какого угодно (но конечного) числа простых чисел $p_{a_i}$ .

Аналогично, наш знаменатель, т.е. $b$ , можно представить как $b=p_{b_1} \cdot p_{b_2} \cdot \ldots \cdot p_{b_n}$ . Тот факт, что у нас $m$ множителей для числителя $a$ и $n$ множителей для знаменателя $b$ это лишь условность, мы не знаем, сколько их именно может быть в каждом случае, может оказаться, что $m=n$ . Кстати, в случае с дробью $\frac49$ так и получается, ведь $\frac49 = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Принципиальное наблюдение состоит в том, что $p_{a_i} \neq p_{b_i}$ , иными словами, ни один из простых делителей числителя и знаменателя не может совпадать друг с другом. Почему? Да потому что мы заранее условились, что $a$ и $b$ это взаимно простые числа, а если у них есть общие делители, то мы бы их просто сократили

Шаг третий

Теперь рассмотрим уже $(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}=2$ , чтобы вообще не смущать себя неудобными иероглифами.

Как был получен числитель? Ну, мы взяли все простые множители вида $p_{a_i}$ и умножили их сами на себя, в этом и состоит возведение в квадрат:

$a^2=p_{a_1} \cdot p_{a_2} \cdot \ldots \cdot p_{a_m} \cdot p_{a_1} \cdot p_{a_2} \cdot \ldots \cdot p_{a_m}=p_{a_1} \cdot p_{a_1} \cdot p_{a_2} \cdot p_{a_2} \cdot \ldots \cdot p_{a_m} \cdot p_{a_m}$

Для чистого удобства мы расположили одинаковые множители рядом друг с другом, ведь свойства умножения нам это позволяют.

Теперь посмотрим, как был получен знаменатель:

$b^2=p_{b_1} \cdot p_{b_2} \cdot \ldots \cdot p_{b_n} \cdot p_{b_1} \cdot p_{b_2} \cdot \ldots \cdot p_{b_n}=p_{b_1} \cdot p_{b_1} \cdot p_{b_2} \cdot p_{b_2} \cdot \ldots \cdot p_{b_n} \cdot p_{b_n}$

Картина точно такая же, чего и следовало ожидать.

Шаг четвёртый

Учитывая всё вышесказанное, давайте посмотрим, о чём нам на самом деле говорит запись $\frac{a^2}{b^2}=2$ .

А говорит она о том, что… такая запись не имеет смысла. Серьёзно, никаких шуток.

Смотрите сами: если деление $a^2$ на $b^2$ даёт в итоге двойку, это означает, что $a^2$ ровно в $2$ раза больше $b^2$ . Или, что то же самое, при сокращении общих множителей в числителе и знаменателе в этом самом числителе останется лишь $2$ . Вот только никаких общих множителей у нас быть не может.

Да-да, предыдущий шаг был нужен именно для этого, ведь мы показали, что $a^2$ распадается на произведение простых чисел $p_{a_i}$ , а знаменатель $b^2$ распадается на произведение простых чисел $p_{b_i}$ . Ещё раз отмечаем, что эти простые числа не могут быть равны друг другу по условию.

Что из этого следует? Лишь одно — в принципе не существует рационального числа $\frac{a}{b}$ , которое равнялось бы $\sqrt{2}$ .

Но если ничего такого нет, то почему наше последнее значение, полученное для потенциального корня из двух, равное $1.4142$ при возведении в квадрат даёт $1.99996164$ ? Это ведь почти то, что мы ищем?

Разгадка кроется в том, что до сих пор наше представление о числах было крайне ущербным. Мы считали, что все они рациональны, т.е. могут быть выражены как $\frac{a}{b}$ , где $a$ и $b$ являются какими-то целыми числами. Как было показано, это не так. А значит, это представление должно быть расширено, только и всего.

Е-е-е-е-е, знания!

Да будет нам теперь известно, в математике существует бесконечное количество совершенно невиданных ранее чисел, которые называются “иррациональными”. Они не могут быть записаны как отношение взаимно простых целых чисел. Более того, они не могут быть записаны и конечной десятичной дробью — она всегда будет бесконечной, при этом по мере уменьшения разрядов числа не будут стабильно повторяться. Ровно поэтому наш алгоритм нахождения квадратного корня для $2$ может продолжаться бесконечно, и каждый раз мы будем получать всё более точное, но не финальное значение. Надеемся, никто из вас не успел взять месячный отпуск, чтобы высчитать конечный результат?

Благодаря множеству иррациональных чисел мы можем дополнить свою картину мира и перейти к действительными (real), или, как ещё говорят, “реальным”, или даже “вещественным” числам, обозначаемым буквой $\mathbb R$ . Вся школьная (и непрофильная вузовская) математика ограничивается именно этим множеством, про которое мало что рассказывают.

А рассказать есть что — например, т.к. иррациональных чисел бесконечно много, то между двумя любыми точками числовой прямой (которую также называют “вещественной прямой”, ведь каждая точка на ней соответствует отдельному числу) таких иррациональных элементов будет бесконечно много.

Мы можем сами создавать их, сколько захочется. Допустим, $1.34642346886424583....$ — вот совсем новенькое иррациональное число, которое нам просто не захотелось записывать бесконечно, т.к. на жизнь ещё осталось пару планов. Правда, мы не знаем, результатом какой операции является наше число даже приблизительно, но это уж издержки вольнодумия.

Да, кстати, мы же чуть не забыли дополнить свою картинку с числовыми множествами:

Rendered by QuickLaTeX.com

Когда мы произносим вот это “иррациональное”, перед нами сразу предстаёт нечто мистичное, пугающее, возможно даже немыслимое… Впрочем, многим долгое время так и казалось. У Пифагора и его последователей это вообще привело к разрыву шаблонов, хотя в человеческой истории это факт был осознан и ранее.

Тем не менее, ничего с этим не поделаешь, просто у числовых (да и вообще всех формальных) систем есть некоторые баги. Причём обойти их принципиально невозможно — даже если мы придумаем систему счисления с основанием, скажем, $\sqrt{2}$ , все другие иррациональные числа по-прежнему будут записываться бесконечными неповторяющимися дробями.

При этом из факта того, что иррациональное число нельзя записать конечной десятичной дробью, вовсе не следует, что само количество (например, расстояние), которое это число означает, также бесконечно. Иначе вы бы никогда не смогли купить себе на кухню ту симпатичную кафельную плитку — ведь площадь кухни, как и других помещений, измеряется в “квадратных метрах”, а каждый такой квадратный метр делится на два прямоугольных треугольника с иррациональной гипотенузой:

Rendered by QuickLaTeX.com

Немедленно выйдите на кухню и попытайтесь сделать пару шагов. Всё хорошо? Сквозь пол не проваливаетесь? Поход за колбасой не занял вечность? Значит, дело и правда в недостатках записи, а не самого числа.

Одним из хороших методов представить себе, что значит добавление иррациональных чисел в плане теории множеств, являются так называемые “сечения Дедекинда”. Это потому что был такой математик Юлиус Дедекинд, который на эту тему крепко задумался. Не вдаваясь в тонкости формализма (их час ещё пробьёт), можно свести его концепцию к набору некоторых “сечений”, разбивающих всё множество (как вариант — вещественную прямую) на части, лежащие по разные стороны от самого сечения.

Rendered by QuickLaTeX.com

То есть, $\sqrt{2}$ , будучи таким сечением, разбивает множество на два других, содержащих элементы, лежащие слева от $\sqrt{2}$ и лежащие справа. В свою очередь, внутри этого разбиения можно найти ещё одно. А потом ещё, ещё и ещё, учитывая, что иррациональных чисел бесконечно много рядом с абсолютно любой из возможных точек. Ну.. много их, и почему этому стоит уделять внимание?

А вот подумайте над такой важной вещью, как непрерывность. Если требуется непрерывно провести какую-то линию, а потом исследовать её координаты. Не допустим существования иррациональных чисел — никакой линии не получится, а выйдет максимум набор очень большого количества рациональных точек, которые идеальную линию собой не составят. Хотя, если начертить её очень мелко, отойти подальше и как следует прищуриться, то будет казаться, что с ней никаких проблем нет.

“Да и хрен бы с ним”? “Обойдёмся без линий”? “Я открыл эту страницу только потому, что у меня Двач не грузится”? Всё это похоже на заявления человека, который ещё не знаком с нашей статьёй про графики функций. Оно и понятно, ведь она следует прямо за текущей!

Неприглядная действительность

Leave a reply Отменить ответ