Сырная шаурма с двойной зеленью, пьяная прогулка по ночному городу, романтические сцены с бывшей соседкой или выяснения отношений на школьном дворике. Знаете, что объединяет эти вещи? Это очень простые явления, в чём и состоит изрядная часть их обаяния. Тем не менее, крайне часто люди зачем-то их искусственно усложняют — порой настолько, что не остаётся вообще никакого удовольствия. И если фраза “мне побольше кинзы” для повара  в ларьке не всегда оказывается руководством к действию, то представляете, каких дел можно наделать с математикой? Вот они и делают, пользуясь тем, что некому призвать к ответу.

Впрочем, часть вины лежит и на самой математике, а точнее, на том, как построена учебная программа. Сама её структура иной раз предполагаем как можно большее число всевозможных заучиваний, повторений, прочих мазохистских сюжетов. Безусловным лидером в этом марафоне самоистязания является тригонометрия. Кто знает, в скольких слёзах, истериках и глухой злобе она повинна?

Тригонометрия (по-английски просто trig) это как беспощадно строгий начальник, не допускающий никаких опозданий, отговорок и тому подобное. Или…впрочем, хватит аналогий. При всём ореоле мрачного величия, сама тригонометрия является чуть ли не самой простой областью математики, с которой неизбежно познакомится всякий включённый в систему школьного образования. Более того, для успешного понимания этой области достаточно смириться всего лишь с двумя, опять таки, крайне доступными идеями, к которым мы сейчас и перейдём.

Ещё не успели расстаться с прямоугольным треугольником, говоря про окружности, а уже пора его вновь потревожить. Итак, соберитесь, сейчас будет первая идея. Посмотрите вот на что:

Rendered by QuickLaTeX.com

Это прямоугольный треугольник, стороны которого помечены разными буквами, правильно? Можно даже сказать, что это какие-то числа, ведь измерять стороны нам пока никакие законы Яровой не запрещают. А что можно делать с числами? Ну… типа там складывать, вычитать, умножать, да? А что ещё? Так, кто там тянет руку? Правильно! Их ещё можно друг на друга делить, за догадку победителю предоставляется двойная порция компота во время обеда.

Мы можем поделить a на b, или a на c, а то и вовсе c на b. Удивительно, согласны? Давайте даже выпишем все возможные варианты деления, а то мало ли, вдруг тут секрет какой притаился:

    \[\frac{a}{b}, \frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}, \frac{c}{b}\]

Вроде ничего подозрительного… так когда будет первая важная идея? А это она, собственно говоря, и есть: стороны треугольника можно делить друг на друга. Этим мудрость и правда ограничивается, мы тут скрытыми камерами розыгрышей не снимаем. Можем даже сказать иначе: стороны треугольника могут находиться друг к другу в каких-то отношениях. Так как треугольник это геометрическая фигура, то вроде как понятно, что отношения эти будут не произвольными, а чем-то предопределёнными.

Короче говоря, каждое из этих отношений можно обвести в рамочку и дать ему специальное название. Зачем? Да чтобы было каждый раз понятно, о чём именно речь. Хотя так и быть, упростим себе задачу: разобьём все возможные отношения в пачки по 2 штуки в каждой:

    \[ sin, cos=\left\{\begin{array}{l} \frac{a}{c}, \, \frac{b}{c} \end{array}\right\} \]

    \[ tg, ctg=\left\{\begin{array}{l} \frac{a}{b}, \, \frac{b}{a} \end{array}\right\} \]

    \[ sec, cosec=\left\{\begin{array}{l} \frac{c}{a}, \, \frac{c}{b} \end{array}\right\} \]

Странные буквенные последовательности sin, cos, tg и прочие означают, соответственно, функции под названием “синус”, “косинус”, “тангенс”, “котангенс”, “секанс”, “косеканс”. Не надо пытаться понять, почему все они называются именно так — если какой-то смысл в их именовании и был, то сейчас он уже не играет никакой роли. Единственное, что можно из этого вынести — если вы видите приставку “ко”, то значит, речь идёт о дополнительной функции. Дополнительная функция — это почти то же самое, что и основная, но всё-таки слегка иначе. Совсем как “синус” и “ко-синус”. Не очень понятно? Ничего, на практике сразу будет ясно.

 

 

Тригонометрия — значит, с треугольниками что-то делают, со сторонами его. А что со сторонами делать-то можно? Ну, вот поделить их можно, так ведь? Они и делят, а то как именно делить (т.е. какую сторону на какую), “функцией” называют. Пусть так. Мне треугольники не сильно интересны, но мало ли какие у людей бывают увлечения.

 

Видно, что в каждом наборе, упомянутом выше, у нас по две дроби. При этом каждая дробь, как, опять же, указано, может быть либо одной, либо другой функцией. Например, у нас есть sin, т.е. синус, как понять, это \frac{a}{c} или \frac{b}{c}?  Для простого ответа на этот вопрос давайте опять посмотрим на наш треугольник. Кроме трёх сторон у него ожидаемо имеется и три угла. Один из  них прямой, а остальные два давайте пометим греческими буквами \alpha и \beta:

Rendered by QuickLaTeX.com

Тогда уже указанные функции мы можем определить как функции от угла. Например, sin(\alpha)=\frac{a}{c}, в то время как sin(\beta)=\frac{b}{c}. Почему именно так? А потому, что у всех тригонометрических функций есть словесные формулировки. Звучат они следующим образом (названия катетов берём из нашего треугольника):

Синус, т.е. sin(\alpha) — это отношение противолежащего к углу \alpha катета a к гипотенузе c.

Косинус, т.е. cos(\alpha) — отношение прилежащего к углу \alpha катета b к гипотенузе c.

Тангенс, т.е. tg(\alpha) — отношение противолежащего к углу \alpha катета a к прилежащему катету b.

Котангенс, т.е. ctg(\alpha) — отношение прилежащего к углу \alpha катета b к противолежащему  катету a.

Секанс, т.е. sec(\alpha) — отношение гипотенузы c к катету b, прилежащему к углу \alpha.

Косеканс, т.е. cosec(\alpha) — отношение гипотенузы c к катету a, противолежащему к углу \alpha.

Теперь понятно, что \sin(\alpha)=\frac{a}{c}=cos(\beta), как и гласит наша запись. Да и вообще куча вещей прояснилась, как-будто по щелчку пальцев.

 

Случаем, не смутились, читая про “функцию от угла”? А то непривычно такое слышать, ведь до сих пор мы упоминали только про функции от переменных. Но давайте вспомним, что любая функция — это отображение, т.е. сопоставление какому-то одному элементу какого-то другого по определённому правилу. Можем ли мы сопоставить любому углу какую-то дробь? Ясное дело, что можем, значит, и причин бояться называть весь этот процесс “нахождением значения функции” и “функцией от угла” у нас никаких нет.

 

 

Закрепим пройденное: любые тригонометрические функции это просто отношения одной стороны треугольника к другой. Какую именно сторону выбрать зависит от угла, для которого мы значение этой функции ищем. Всего 6 дробей, которые являются или той, или иной тригонометрической функцией. Здесь же нет ничего предельно трудного для понимания, никаких секретов? Кстати, секанс и косеканс в основном курсе почти никогда не изучаются, мы их добавили просто чтобы показать, что деление любой одной стороны треугольника на любую другую — это тригонометрическая функция. Вся тригонометрия это в буквальном смысле “измерение треугольников”, поэтому такой вывод не должен казаться удивительным.

Хорошо, с этим мы, наверное, разобрались. Было что-то неприятное? Конечно — выбирать то один угол, то другой, всё таки не слишком удобно. Куда проще всё бы пошло, будь у нас возможность рассматривать функции только от одного угла. То есть, выдали нам такой треугольник:

Rendered by QuickLaTeX.com

В нём нужно найти sin(\beta). Не мучаем себя вычислениями, а просто рисуем новый треугольник с таким расчётом, чтобы угол, исходящий из начальной точки O, был равен \beta, и дальше уже всё вычисляем:

Rendered by QuickLaTeX.com

Дело исключительно в удобстве, никаких иных причин вертеть почтенными фигурами у нас нет. Хм… несколько прямоугольных треугольников, исходящих из одной точки… где-то мы такое уже видели. Где же? А в самой последней статье, когда говорили про окружность, давайте это вспомним:

Rendered by QuickLaTeX.com

Там мы рисовали треугольники с фиксированной гипотенузой равной 1 и внятной целью: найти уравнение окружности. Но и для рассмотрения тригонометрии этому найдётся место. Смотрите, возьмём самый базовый треугольник и найдём, чему в нём равны те или иные функции:

Rendered by QuickLaTeX.com

Что такое sin(\alpha)? По определению это отношение противолежащего к углу \alpha катета a к гипотенузе c. Чему у нас равна дробь \frac{a}{c}? Так как гипотенузу c мы специально выбрали равной одному, то \frac{a}{c}=\frac{a}{1}=a. Синус угла превратился просто в значение отрезка a, т.е. в высоту точки A, в которой гипотенуза касается нашей окружности. Ещё раз заметим: окружность у нас единичного радиуса, то есть специально подобранная. Но сам вывод верен для всех треугольников вообще: синус это высота, это доля, процент, который катет составляет от гипотенузы.

Значит, чем больше оказывается наша высота, тем и больше значение синуса:

Rendered by QuickLaTeX.com

А что если в очередной раз пойти на экстрим и предположить, что наш рассматриваемый угол \alpha рано или поздно становится совершенно прямым? В таком случае, конечно, треугольник наш схлопнется и перестанет быть треугольником, ведь в треугольнике сумма углов должна быть равна 180^{\circ}, а у нас уже два угла прямых, т. е. ни на какой третий места не останется. Ценой схлопывания треугольника мы получаем высоту a=1 (только при ней второй катет, отвечающий за ширину, исчезает окончательно). Чему тогда равен синус? Вроде как sin(90^{\circ})=\frac{a}{c}=\frac{1}{1}=1.

Такая же логика работает и в случае рассмотрения угла в 0^{\circ}. Учитывая, что никакой высоты у нас нет вообще, т.е. она нулевая, то sin(0^{\circ})=\frac{a}{c}=\frac{0}{1}=0.

Покажем эти два предельных случая разным цветом, но стоит очень внимательно отнестись к тому, что это совершенно противоположные варианты схлопывания. Вообще, когда мы берём фигуру и так её деформируем, что она уже сама на себя не похожа, в математике говорят, что она “вырождается” во что-то. Ну, совсем как российская демократия. В нашем случае треугольники при постоянном увеличении одной стороны вырождаются в прямые:

Rendered by QuickLaTeX.com

Итак, мы уже установили предельные абсолютные значения для функции синуса: он не может быть меньше нуля или больше единицы. Посмотрим, работает ли эта картина для остальных тригонометрических жемчужин. Будем рассматривать косинус. Что это такое:

Rendered by QuickLaTeX.com

Заметьте, что cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b, т.е. косинус это просто ширина нашего треугольника, равная длине отрезка b. Что случится с косинусом, вздумай мы вновь начать уродовать беспомощную фигуру? В предельной точке для угла 90^{\circ} ширина вообще исчезает, т.е. cos(90^{\circ})=\frac{b}{c}=\frac{0}{1}=0. А вот для 0^{\circ} ситуация ровно противоположная, высоты у нас там нет, зато всё её место занимает ширина: cos(90^{\circ})=\frac{1}{1}=1.

 

Опять кружки на выручку пришли — недаром всё-таки они мне так нравятся! Запоминать все эти синусы, углы, как они меняются и т.п. совсем не хочется. А тут как бы и вообще не нужно — нарисовал кружок и понятно, что к чему. Так, надо постараться не забыть: синус это высота, а косинус это ширина… буду каждое утро повторять, пока душ принимаю.

 

 

 

Благодаря приставке “ко” мы видим, что и синус, и косинус нехило так связаны между собой, и если растёт одно, то уменьшается другое. Разумеется, они могут быть и равны друг другу. В каком случае? Ответим на это, применив мощнейший алгебраический арсенал приёмов и решив следующее уравнение:

    \begin{gather*} \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \\ a=b \end{gather*}

Потрясающе, правда? Синус и косинус равны только тогда, когда катеты прямоугольного треугольника равны между собой. А какие это значения? Теорема Пифагора в очередной раз говорит, что a^2+b^2=c^2. В случае, если c=1, а этосименно наш случай, получается:

    \begin{gather*} a^2+b^2=1 \\ a^2=b^2 \\ 2a^2=1 \\ a^2=\frac12 \\ a=\sqrt{\frac12} \\ a=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{gather*}

Глядя на то, как меняются длины отрезков a и b, можно предположить, что равны они оказываются только при каком-то среднем значении угла, не дающим перевеса в пользу одной или другой стороны. А какое у нас значение среднее между 0^{\circ} и 90^{\circ}? Конечно, это 45^{\circ}, значение синуса и косинуса которых мы только что и обнаружили.

Высота, ширина… как-то просто это всё. Отчего тогда столько горя и зубовного скрежета? Почему внушительные массы людей в принципе люто ненавидят тригонометрию? Вероятно, потому, что хотя все основные идеи и крайне просты, есть небольшие хитрости, не зная которых, сложно решить все задания правильным путём, а сами хитрости можно понять в результате полного, бескомпромиссного освоения главных идей.

К примеру, визуально, при помощи круга определять синус и косинус мы научились. А что делать с тангенсом? Отношение одного катета к другому… ни один из катетов у нас не фиксирован на конкретном значении, тем более на единице, что же делать?

Повторим необходимое замечание, которые мы и так постоянно делаем. Все геометрические фигуры подобны друг другу (вспомните, как мы приводили схожее рассуждение для прямой линии, когда говорили о её наклоне). То есть, если в них сохраняются какие-то постоянные пропорции независимо от размера самой фигуры.

Допустим, у нас есть несколько прямоугольные треугольники различного размера, но углы в них окажутся взаимно равны:

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Так как углы одинаковы, то и отношения сторон друг к другу будут одинаковыми для обоих треугольников. Исходя именно из этого факта мы и выбрали гипотенузу равной единице, чтобы не утомлять себя лишними расчётами, которые всё равно приведут к одним и тем же результатам.

Но в случае тангенса единичная гипотенуза нам уже не поможет, ведь тангенс это отношение катетов. Поэтому… просто примем один из катетов равным единице. По определению tg(\alpha)=\frac{a}{b}. В знаменателе стоит b, на единицу делить куда удобнее, поэтому мы b единичным и сделаем. Правда, в таком случае треугольник выйдет за пределы окружности, но нас это уже не должно беспокоить. Фактически мы просто проводим ещё одну вертикальную ось через точку (1,0) и уже на её основе достраиваем все интересующие треугольники до новых, в которых b всегда равен 1:

Rendered by QuickLaTeX.com

Достроили? Если b всегда равен 1, то \frac{a}{b} всегда равна a. Значит, наш тангенс, как и ранее синус, опять равен просто высоте, но уже не отрезку a, а его высокому оранжевому собрату. Другое дело, что новый отрезок теперь не должен быть ограничен единицей, его длина может быть и намного больше (ведь один катет треугольника может быть сильно больше другого, особенно в предельных случаях).

Кстати, а что ещё следует из того, что мы фиксировали b на значении 1? Давайте посмотрим на наш список функций… так так так… у нас же b есть ещё и в знаменателе для секанса! И правда, sec(\alpha)=\frac{c}{b}. Чему будет равен секанс, если мы по-прежнему считаем, что b=1? Судя по всему, он будет равен sec(\alpha)=\frac{c}{b}=c, т.е. просто длине гипотенузы.

Заключительная часть сегодняшней драмы будет заключаться в графическом изображении смысла котангенса и косеканса. Как видно из нашего списка, котангенс это отношение противолежащего к углу \alpha катета b  к прилежащему катету a. Уже догадались, что мы будем делать дальше? Правильно, мы будем приравнивать a к единице, чтобы вновь получить удобную формулу для наших расчётов.

Итак, фиксируем a=1 и посмотрим, что у нас получается. Ожидаемо, когда a равен единице, ctg(\alpha)=\frac{b}{a}=\frac{b}{1}=b, т.е. просто ширине нашего треугольника. Это схоже с определением косинуса, с той лишь разницей, что для косинуса мы строим треугольник с единичной гипотенузой, а для котангенса — с единичным катетом a. Этим откровения не исчерпываются, давайте посмотри на гипотенузу c. Если мы разделим её на a, то вновь получим c, а это как раз есть определение косеканса, ведь cosec(\alpha)=\frac{c}{a}.

Попробуем разместить всё усвоенное на одном рисунке, чтобы в дальнейшем использовать его как удобную (и очень симпатичную) шпаргалку:

Rendered by QuickLaTeX.com

Сегодняшнее изложение можно считать оконченным. Напомним, что оно было посвящено первой идее, лежащей в основе тригонометрии — стороны треугольника можно без проблем делить друг на друга. Мы таким делением и занимались, но применили к рассмотрению свойство подобия — для каждого случая строили именно такой треугольник, который для нас удобнее, чтобы снова и снова испытывать экстаз от деления на единицу.

Если всё сказанное выше не вызывает решительного интеллектуального протеста, до встречи в следующем материале, где мы узнаем, что углы это не всегда то, за что мы привыкли их принимать.