Стремительно вываливающийся поток скучнейшей информации грозит полным замешательством. Чтобы не потеряться во всех этих числах, множествах и операциях, следует периодически возвращаться к уже пройденным основам, переводить дух и набираться сил для новых путешествий. К тому же может оказаться, что оставленный позади материал вовсе не так прост, как изначально думалось. Математика, как и любая мыслительная деятельность вообще, хороша именно своей последовательностью — мы начинаем с очень простого набора фактов и утверждений, постепенно дополняя их новыми и новыми деталями. Однако каркас базовых идей при этом никуда не девается.

Только знакомясь с числовой реальностью, мы рассмотрели смысл  арифметических операций, глядя на манипуляции с кубиками. Приглядимся к этим кубикам получше, однако не с точки зрения их формы и цвета, а с точки зрения тех перспектив, которые они перед нами открывают. При этом не побоимся совершить скачок к более высоким уровням абстракции — откажемся от цифр в пользу букв. Кстати, именно обилие букв в различных параграфах, уроках и семинарах зачастую отпугивает невольно изучающих математику бедняг.

Действительно, человеку, который привык всю жизнь читать треды на игровых форумах и обсуждать личные отношения в личке социальных сетей, текст типа ab+c:d-e кажется совершенно сбивающим с толку, не говоря о всяких мутантах вроде x+4y. Идея, которая заложена в таком виде записи, проста — когда мы говорим о чём-то в самом общем смысле, нет нужды зацикливаться на частностях.

 

 

Если буквы видишь — то речь сразу о чём-то крупном идёт, важном, без копания в деталях. Пока мал ещё, ума не набрался, можно всё на пальцах считать, ну или пироги по частям делить. Как мудрости побольше стало — пора уже об общем говорить, иначе как важным человеком быть собираешься?

 

 

 

К примеру, внезапно покинутая девушка, имеющая неудачную историю романтических отношений, будет склонна к мысли, что все мужчины негодяи, подлецы и сексуально озабоченные эгоистичные обезьяны. Рассказывая это, опираясь на примеры из жизни, она будет говорить что-то вроде “все они вообще дикие ублюдки, взять что Филиппа, что Семёна, что даже Оливера!”. Можно видеть, что хотя данное утверждение и носит общий характер, состоит оно из перечисления частностей. Другое дело, если бы оно выглядело как “все x дикие ублюдки”, где под x подразумевался бы любой мужчина в принципе. Вообще-то всё такое уже было проговорено во вводной статье по множествам, но вдруг вы решили читать не по порядку?

Всё верное относительно множеств мы наблюдаем и с формальными операциями в случае привычных каждой кассирше чисел. По определению мы знаем, что вычтя из любого числа само себя, например, проделав операцию 7-7, мы вернёмся в начало числовой оси, то есть в точку 0. Передать эту идею, переписав все числа, для которых это верно, не получится, ведь множество их бесконечно. Зато можно изящно сказать, что x-x=0, а уж сам x это наша переменная величина (variable), которая может стать всем, что мы от неё захотим по контексту, в отличие от постоянной (constant) величины, вроде 7, которая при любых условиях равна самой себе.

Можно делать и более изощрённые утверждения. Вот поговорим о сложении. Как мы помним, сложение это движение вправо по числовой оси, значит, чем дальше мы двигаемся, тем дальше и окажемся, тем к большему числу придём. Это позволяет сделать тривиальное заключение, что сдвинувшись вправо хоть насколько то, мы получим большее число, чем имели изначально. В случае с 4, прибавив 3 мы получим 7. Но разве это так только с четвёркой? Взяв любое число x и прибавив к нему 3, мы получим нечто большее! Больше того, прибавив к любому x любое другое y, мы получим, опять же, нечто большее, но при условии, что сам y больше нуля.

На всякий случай напомним себе, что числовые множества являются полностью упорядоченными, то есть, для любой пары случайно взятых элементов из освоенного нами множества \mathbb Z можно подобрать отношение >, <, =, \geq, \leq, которое будет выполняться. Имея это в виду,  давайте запишем свою фразу совсем как как серьёзные математики. Мы хотели сказать, что x+y \geq x, при этом x \in \mathbb N, y \in \mathbb N. Сказанное про y очень важно, ведь если оно будет отрицательным, то всё выражение окажется неверным. Кстати, для обозначения положительных целых чисел есть особый вариант записи \mathbb Z^+, как и \mathbb Z^- для отрицательных.

nerd

 

Всё то, что сейчас записали, работает и когда y=0. Но среди математиков со времён последней статьи так и не появилось согласия по поводу того, является ли ноль натуральным числом или нет. Чтобы избежать недопонимания, надо писать не y \in \mathbb N, а y \in \mathbb N \cup \{0\}, то есть добавить к обычным натуральным числам ещё и элемент “ноль”. Схожим образом можно написать и y \in \mathbb Z^+ \cup \{0\}, ведь положительные целые числа ноль в любой трактовке включать в себя не должны.

 

 

Пользоваться таким видом записи особенно полезно в том случае, когда само утверждение является не совсем уж очевидным. Вернёмся к кубикам. Мы говорили, что благодаря им видно, почему сложение и умножение это коммутативные операции, то есть, не зависящие от того, в каком порядке записаны операнды (это типа элементы, над которыми и проводится операция). Оказывается, из этого следует очень важный арифметический закон, называемый переместительным (commutative), гласящий, что:

    \begin{gather*} a+b=b+a \\ ab=ba \end{gather*}

То есть, и складывать, и умножать можно в любом порядке. Вас смутило выражение ab? Это тревожно, ведь раньше мы говорили, что для умножения используется символ \cdot, но на практике при наличии букв этот знак опускается в целях экономии места, поэтому 4 \cdot a = 4a. Считается, что буквы в таких выражениях следует записывать в алфавитном порядке, типа 4abcd, хотя это скорее продиктовано удобством чтения и восприятия.

Раз уж было упомянуто о порядке, в котором стоят элементы, необходимо сказать и о порядке для операций. Дело в том, что хотя выражения и могут быть сведены к поэтапному выполнению действий с двумя элементами, в каком их осуществлять — большой вопрос. На этом, кстати, основаны многие “математические загадки”, над которыми периодическим ломают голову многие интернет-пользователи. Допустим, чему равно значение выражения 2+3 \cdot 4? Чтобы ответить на это, следует знать, в какой очерёдности выполнять операции. Если мы сначала прибавляем двойку к тройке, а потом умножаем на четвёрку, то в итоге получим 20. Но если сначала делаем умножение, а затем сложение, то ответ получится 14.

К счастью, на этот случай есть чёткое правило. Арифметические операции имеют два “естественных” уровня приоритета: высокий и обычный. Обычным обладают сложение и вычитание, они выполняются слева направо, в порядке живой очереди. Высоким же приоритетом обладают умножение и деление, их следует выполнять первым делом, опять же, слева направо. Значит, правильный ответ на наш пример это именно 14. Ну и в случае с 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 ответом будет являться именно 26.

Есть ли какой то смысл в том, почему умножение и деление важнее сложения и вычитания? Нет, это просто дело договорённости. Пойди история человечества иначе, мы бы вполне могли выполнять все действия в другом порядке, совершенно не испытывая при этом никакого смущения.

Куда важнее то, что у нас есть способ “искусственно” поменять приоритет операций, используя знакомые всем скобки ( ). Когда действие помещено в скобки, его приоритет намеренно делается наивысшим. Переписав уже знакомое выражение как (2+3) \cdot 4 мы получим именно 20, ведь суровое требование заставляет нас сперва разделаться именно со сложением.

maga

 

 

Всё надо делать по-порядку, как по старшинству. Смотришь на пример: сначала делаешь всё, что в скобках, да по очереди. Как сделал, ну или если нет такого, умножаешь и делишь. Закончил и с этим, можно расслабиться, складывать и вычитать. Я когда сильно длинный пример вижу, над операциями значки ставлю, чтобы не запутаться, типа как (2 \overset{1}{+} 3) \overset{2}{\cdot} 4 \overset{3}{+} 5=25. Путаться тут совсем нельзя, подсчёт — дело серьёзное, ответственное.

 

 

Вообще выполнять операции в разном порядке, в зависимости от желания, бывает полезно и просто из лени. Вот взять выражение 2+3+4+7+6+8, вычислять его будет скучно. А если местами перебросить, да ещё скобок добавить, то (2+8)+(3+7)+(6+4) получится и ответ 30 найдётся за пару секунд. Кстати, произвольная расстановка скобок это вообще-то ещё один закон для умножения и сложения, на этот раз сочетательный, говорящий, что:

    \begin{gather*} (a+b)+c = a+(b+c) \\ (ab) \cdot c = a \cdot (bc) \end{gather*}

С этим всё более-менее (хочется верить, что именно “более”) ясно. А что делать, если перед нами возникла другая, смешанная задача? Например, нужно понять, что из себя представляет выражение типа a \cdot (b+c). Для наглядности воспользуемся уже задействованной ранее картинкой.

Rendered by QuickLaTeX.com

Видно, что у нас имеется ряд кубиков размером b+c, который мы последовательно прибавляем a раз, в данном случае 3, получая всё больший итоговый набор. Но мы можем пойти другим путём, воспользовавшись той же самой иллюстрацией, только теперь проделав всю операцию по частям, сначала добавив a рядов к первому слагаемому, то есть к b, а затем и к c, сложив полученные результаты.

Rendered by QuickLaTeX.com

Рисунок не даёт соврать — мы получили совершенно одинаковые значения, тем самым оформив ещё один, распределительный (distributive) закон умножения относительно сложения:

    \[a \cdot (b+c) = ab+ac\]

Переоценить его пользу трудно, ведь неисчислимое множество заданий привлекает его в той или иной форме. Чаще всего это выражается фразами о “вынесении общего множителя”, то есть, имея 9+15, мы это всё в силах представить как 3 \cdot (3+5), и так далее. Если вам кажется, что умение записывать один и тот же результат кучей разных способов это упражнения в тщетности, то вы просто не знакомы с официальными учебными курсами, требующими от изучающих в совершенстве овладеть подобным навыком.

Схожим образом из рассмотренных иллюстраций вытекают и обратные законы, верные для вычитания, деления и тому подобное. Попробуйте поиграть кубиками и увидеть, почему перечисленные утверждения действительно верны.

Деление суммы на число: (a + b) : c = a : c + b : c
Деление разности на число: (a - b) : c = a : c - b : c
Деление произведения на число: (a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = a \cdot (b : c)

Как только возникнет стойкое ощущение, что с играми (но не с кубиками!) пора завязывать, то можете переходить в следующим материалам, ничуть не боясь того, что новые доказательства и элементы рассуждений никак не будут следовать друг из друга.