Тайный язык древних

Стремительно вываливающийся поток скучнейшей информации грозит полным замешательством. Чтобы не потеряться во всех этих числах, множествах и операциях, следует периодически возвращаться к уже пройденным основам, переводить дух и набираться сил для новых путешествий. К тому же может оказаться, что оставленный позади материал вовсе не так прост, как изначально думалось. Математика, как и любая мыслительная деятельность вообще, хороша именно своей последовательностью — мы начинаем с очень простого набора фактов и утверждений, постепенно дополняя их новыми и новыми деталями. Однако каркас базовых идей при этом никуда не девается.

Только знакомясь с числовой реальностью, мы рассмотрели смысл  арифметических операций, глядя на манипуляции с кубиками. Приглядимся к этим кубикам получше, однако не с точки зрения их формы и цвета, а с точки зрения тех перспектив, которые они перед нами открывают. При этом не побоимся совершить скачок к более высоким уровням абстракции — откажемся от цифр в пользу букв. Кстати, именно обилие букв в различных параграфах, уроках и семинарах зачастую отпугивает невольно изучающих математику бедняг.

Действительно, человеку, который привык всю жизнь читать треды на игровых форумах и обсуждать личные отношения в личке социальных сетей, текст типа кажется совершенно сбивающим с толку, не говоря о всяких мутантах вроде . Идея, которая заложена в таком виде записи, проста — когда мы говорим о чём-то в самом общем смысле, нет нужды зацикливаться на частностях.

 

 

Если буквы видишь — то речь сразу о чём-то крупном идёт, важном, без копания в деталях. Пока мал ещё, ума не набрался, можно всё на пальцах считать, ну или пироги по частям делить. Как мудрости побольше стало — пора уже об общем говорить, иначе как важным человеком быть собираешься?

 

 

 

К примеру, внезапно покинутая девушка, имеющая неудачную историю романтических отношений, будет склонна к мысли, что все мужчины негодяи, подлецы и сексуально озабоченные эгоистичные обезьяны. Рассказывая это, опираясь на примеры из жизни, она будет говорить что-то вроде “все они вообще дикие ублюдки, взять что Филиппа, что Семёна, что даже Оливера!”. Можно видеть, что хотя данное утверждение и носит общий характер, состоит оно из перечисления частностей. Другое дело, если бы оно выглядело как “все дикие ублюдки”, где под подразумевался бы любой мужчина в принципе. Вообще-то всё такое уже было проговорено во вводной статье по множествам, но вдруг вы решили читать не по порядку?

Всё верное относительно множеств мы наблюдаем и с формальными операциями в случае привычных каждой кассирше чисел. По определению мы знаем, что вычтя из любого числа само себя, например, проделав операцию , мы вернёмся в начало числовой оси, то есть в точку . Передать эту идею, переписав все числа, для которых это верно, не получится, ведь множество их бесконечно. Зато можно изящно сказать, что , а уж сам это наша переменная величина (variable), которая может стать всем, что мы от неё захотим по контексту, в отличие от постоянной (constant) величины, вроде , которая при любых условиях равна самой себе.

Можно делать и более изощрённые утверждения. Вот поговорим о сложении. Как мы помним, сложение это движение вправо по числовой оси, значит, чем дальше мы двигаемся, тем дальше и окажемся, тем к большему числу придём. Это позволяет сделать тривиальное заключение, что сдвинувшись вправо хоть насколько то, мы получим большее число, чем имели изначально. В случае с , прибавив мы получим . Но разве это так только с четвёркой? Взяв любое число и прибавив к нему , мы получим нечто большее! Больше того, прибавив к любому любое другое , мы получим, опять же, нечто большее, но при условии, что сам больше нуля.

На всякий случай напомним себе, что числовые множества являются полностью упорядоченными, то есть, для любой пары случайно взятых элементов из освоенного нами множества можно подобрать отношение , которое будет выполняться. Имея это в виду,  давайте запишем свою фразу совсем как как серьёзные математики. Мы хотели сказать, что , при этом . Сказанное про очень важно, ведь если оно будет отрицательным, то всё выражение окажется неверным. Кстати, для обозначения положительных целых чисел есть особый вариант записи , как и для отрицательных.

 

Всё то, что сейчас записали, работает и когда . Но среди математиков со времён последней статьи так и не появилось согласия по поводу того, является ли ноль натуральным числом или нет. Чтобы избежать недопонимания, надо писать не , а , то есть добавить к обычным натуральным числам ещё и элемент “ноль”. Схожим образом можно написать и , ведь положительные целые числа ноль в любой трактовке включать в себя не должны.

 

 

Пользоваться таким видом записи особенно полезно в том случае, когда само утверждение является не совсем уж очевидным. Вернёмся к кубикам. Мы говорили, что благодаря им видно, почему сложение и умножение это коммутативные операции, то есть, не зависящие от того, в каком порядке записаны операнды (это типа элементы, над которыми и проводится операция). Оказывается, из этого следует очень важный арифметический закон, называемый переместительным (commutative), гласящий, что:

   

То есть, и складывать, и умножать можно в любом порядке. Вас смутило выражение ? Это тревожно, ведь раньше мы говорили, что для умножения используется символ , но на практике при наличии букв этот знак опускается в целях экономии места, поэтому . Считается, что буквы в таких выражениях следует записывать в алфавитном порядке, типа , хотя это скорее продиктовано удобством чтения и восприятия.

Раз уж было упомянуто о порядке, в котором стоят элементы, необходимо сказать и о порядке для операций. Дело в том, что хотя выражения и могут быть сведены к поэтапному выполнению действий с двумя элементами, в каком их осуществлять — большой вопрос. На этом, кстати, основаны многие “математические загадки”, над которыми периодическим ломают голову многие интернет-пользователи. Допустим, чему равно значение выражения ? Чтобы ответить на это, следует знать, в какой очерёдности выполнять операции. Если мы сначала прибавляем двойку к тройке, а потом умножаем на четвёрку, то в итоге получим . Но если сначала делаем умножение, а затем сложение, то ответ получится .

К счастью, на этот случай есть чёткое правило. Арифметические операции имеют два “естественных” уровня приоритета: высокий и обычный. Обычным обладают сложение и вычитание, они выполняются слева направо, в порядке живой очереди. Высоким же приоритетом обладают умножение и деление, их следует выполнять первым делом, опять же, слева направо. Значит, правильный ответ на наш пример это именно . Ну и в случае с ответом будет являться именно .

Есть ли какой то смысл в том, почему умножение и деление важнее сложения и вычитания? Нет, это просто дело договорённости. Пойди история человечества иначе, мы бы вполне могли выполнять все действия в другом порядке, совершенно не испытывая при этом никакого смущения.

Куда важнее то, что у нас есть способ “искусственно” поменять приоритет операций, используя знакомые всем скобки . Когда действие помещено в скобки, его приоритет намеренно делается наивысшим. Переписав уже знакомое выражение как мы получим именно , ведь суровое требование заставляет нас сперва разделаться именно со сложением.

 

 

Всё надо делать по-порядку, как по старшинству. Смотришь на пример: сначала делаешь всё, что в скобках, да по очереди. Как сделал, ну или если нет такого, умножаешь и делишь. Закончил и с этим, можно расслабиться, складывать и вычитать. Я когда сильно длинный пример вижу, над операциями значки ставлю, чтобы не запутаться, типа как . Путаться тут совсем нельзя, подсчёт — дело серьёзное, ответственное.

 

 

Вообще выполнять операции в разном порядке, в зависимости от желания, бывает полезно и просто из лени. Вот взять выражение , вычислять его будет скучно. А если местами перебросить, да ещё скобок добавить, то получится и ответ найдётся за пару секунд. Кстати, произвольная расстановка скобок это вообще-то ещё один закон для умножения и сложения, на этот раз сочетательный, говорящий, что:

   

С этим всё более-менее (хочется верить, что именно “более”) ясно. А что делать, если перед нами возникла другая, смешанная задача? Например, нужно понять, что из себя представляет выражение типа . Для наглядности воспользуемся уже задействованной ранее картинкой.

Видно, что у нас имеется ряд кубиков размером , который мы последовательно прибавляем раз, в данном случае , получая всё больший итоговый набор. Но мы можем пойти другим путём, воспользовавшись той же самой иллюстрацией, только теперь проделав всю операцию по частям, сначала добавив рядов к первому слагаемому, то есть к , а затем и к , сложив полученные результаты.

Рисунок не даёт соврать — мы получили совершенно одинаковые значения, тем самым оформив ещё один, распределительный (distributive) закон умножения относительно сложения:

   

Переоценить его пользу трудно, ведь неисчислимое множество заданий привлекает его в той или иной форме. Чаще всего это выражается фразами о “вынесении общего множителя”, то есть, имея , мы это всё в силах представить как , и так далее. Если вам кажется, что умение записывать один и тот же результат кучей разных способов это упражнения в тщетности, то вы просто не знакомы с официальными учебными курсами, требующими от изучающих в совершенстве овладеть подобным навыком.

Схожим образом из рассмотренных иллюстраций вытекают и обратные законы, верные для вычитания, деления и тому подобное. Попробуйте поиграть кубиками и увидеть, почему перечисленные утверждения действительно верны.

Деление суммы на число:
Деление разности на число:
Деление произведения на число:

Как только возникнет стойкое ощущение, что с играми (но не с кубиками!) пора завязывать, то можете переходить в следующим материалам, ничуть не боясь того, что новые доказательства и элементы рассуждений никак не будут следовать друг из друга.